千年輪回只為證明你的直覺
千年輪回只為證明你的直覺
我都覺得這個題目太具有文藝范兒了，搞得像白蛇傳一樣……數(shù)學(xué)史上的故事，雖沒白蛇傳那么蕩氣回腸，卻也激動人心，特別當(dāng)我們這種千年后人回顧這些事。今日要介紹的，就是圍繞在著名的希波克拉底月牙定理的種種故事。一切長話短說了。
一：數(shù)與形的競爭
古人從現(xiàn)實生活中逐漸提煉出基本的數(shù)學(xué)概念，并且這些概念結(jié)論什么的逐漸分成兩大陣營——幾何與算術(shù)。這兩門學(xué)科不像現(xiàn)在那般相互促進(jìn)，而是在相互競爭——誰管用就信誰，跟中國人信神一樣。當(dāng)幾何中有了新的發(fā)現(xiàn)，幾何便占據(jù)優(yōu)勢，算術(shù)漸被多數(shù)人忽視；而當(dāng)算術(shù)有了新的發(fā)現(xiàn)，算術(shù)又取代幾何的位置成為主流。
二：畢氏學(xué)派和幾何的勝出
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派大概是以著名的畢達(dá)哥拉斯定理（也就是勾股定理）而讓我們熟知。實際上這只是畢氏學(xué)派在幾何中的一大貢獻(xiàn)而已，他們在算術(shù)中的思想往往被我們忽視——大概是這種思想被證明是一種荒謬之故——“萬物皆數(shù)”，關(guān)于這種思想的具體介紹我就不贅述了，網(wǎng)上一搜一大把。我們應(yīng)該提起這種思想是想讓大家知道，畢氏學(xué)派一開始是在幾何與算術(shù)兩大陣營都有建樹的，并無偏頗一方之意。但“成也蕭何，敗也蕭何”，畢氏學(xué)派因該定理流傳千古，也因該定理毀了自己的思想根基——正是因為畢達(dá)哥拉斯定理導(dǎo)致了“無理數(shù)”的發(fā)現(xiàn)。這對畢氏學(xué)派來說是災(zāi)難性的，對人類來說卻是一大喜事。
然而不可公度數(shù)的發(fā)現(xiàn)，并沒有引導(dǎo)人們?nèi)ミM(jìn)一步研究數(shù)的性質(zhì)，反倒讓人們對算術(shù)失去了信心，就從這個節(jié)骨眼開始，幾何對算術(shù)的優(yōu)勢一直支配著希臘，足有一千多年。
三：對面積的癡迷，對美和秩序的追求
古希臘人被幾何的對稱性，視覺美和微妙的邏輯結(jié)構(gòu)吸引住了，尤其是化繁為簡的處理方式，即以簡單和基本的東西作為復(fù)雜和紛繁問題的處理基礎(chǔ)。
如果要從大自然中體驗到一種幾何體，那么最常見的莫過于直線和圓了，對直線和圓的癡迷，使得直尺和圓規(guī)成為了幾何作圖的核心工具（至少在希臘是如此），而直尺和圓規(guī)的實用性反過來增進(jìn)了直線和圓在希臘幾何學(xué)中的地位。
對幾何中美和對稱性的追求，希臘人開始研究起面積，其本意我猜測是想把描述平面圖大小的量轉(zhuǎn)化成簡單的正方形。面對著一般圖形求面積的困難，在希臘人心中就萌發(fā)“用一個正方形面積取代一個平面圖形的面積”的想法，因為如果能實現(xiàn)，那么規(guī)則對稱的正方形替換了不規(guī)則不對稱的平面圖形，這是一種以對稱取代不對稱，以完美取代不完美，以有理性取代無理性的過程，也是宇宙所固有的簡約和美的象征。
四：直邊圖形的遺憾，月牙定理的“曙光”
憑著古希臘人得才華，人們已經(jīng)能僅憑“尺規(guī)作圖”，用正方形的面積表示任何“直邊圖形”的面積，但曲邊圖形卻遇到了困難。人們起初懷疑這種方案的可行性，因為直覺認(rèn)為尺規(guī)不能將曲邊拉直。然而希波克拉底帶著他的月牙定理，讓眾人看到了“化曲為直”的希望。如下圖所示，很容易證明圖中的兩個陰影部分的面積是一樣的（證明過程網(wǎng)上諸多）。該定理一面世便引起軒然大波，太提神了！一個曲邊圖形的面積就這樣化成了一個直邊圖形，這位那些一心想尋找化曲為直的數(shù)學(xué)家來說實在是太振奮人心。有傳言稱希波克拉底個人都據(jù)此宣稱他已經(jīng)解決化圓為方問題，在后來的辛普利西烏斯的轉(zhuǎn)述中提到所謂的“化圓為方”問題解決辦法。后來證實這是錯誤的——作者錯誤地將此月牙推廣到任意月牙，實際上直到20世紀(jì)，才由數(shù)學(xué)家們證明僅存在五種月牙形能用正方形來表示面積。當(dāng)然這是后話，不管是非如何，月牙定理確實激起了大家對化圓為方問題的興趣，而且他們?nèi)绱酥�，一做就是兩千多年…�?/p>
五：千年后的終結(jié)
兩千多年來，盡管無數(shù)的科學(xué)家為幾大幾何作圖問題費(fèi)盡心思卻仍未有任何突破，但人們始終相信，這些都只是數(shù)學(xué)家們的能力不夠而已。直到1882年，德國的費(fèi)迪南德·林德曼證明了該問題的不可能性——根本原因就在于圓周率π的超越性，這個問題才算得到了圓滿的解決。
回顧整個歷史的發(fā)展過程，當(dāng)人們最初提到用尺規(guī)化圓為方時，人們直覺認(rèn)為這是不可能的，但是月牙定理顛覆了直覺，而后，林德曼等人的否定結(jié)論表示，直覺并非都錯——對于化圓為方問題來說，直覺永遠(yuǎn)都是對的。歷經(jīng)千年，只為證明人們的直覺。當(dāng)然，歷經(jīng)千年的洗禮，雖然最終回歸到了直覺，但我們的思維，早已超越。
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