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積化和差公式的證明和記憶

時(shí)間:2024-08-07 11:03:06

積化和差公式的證明和記憶

積化和差公式的證明和記憶

積化和差公式的證明和記憶

  積化和差,指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式。

  公式

  sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負(fù)號(hào)】

  cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

  sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

  cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

  證明

  法1

  積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。

  即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明:

  sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

  =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

  =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

  其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。

 。ㄔ撟C明法逆向推導(dǎo)可用于和差化積的計(jì)算,參見(jiàn)和差化積)

  法2

  根據(jù)歐拉公式,e^ix=cosx+isinx

  令x=a+b

  得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

  所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

  sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

  記憶方法

  積化和差公式的形式比較復(fù)雜,記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn),下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。

  【1】這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域應(yīng)該 是

  [-2,2],而積的值域確是[-1,1],因此除以2是必須的。

  也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶,因?yàn)檎归_(kāi)兩角和差公式后,未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如:

  cos(α-β)-cos(α+β)

  =(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

  =2sinαsinβ

  故最后需要除以2。

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