直線與平面垂直的判定優(yōu)秀教案
作為一位無私奉獻(xiàn)的人民教師,往往需要進(jìn)行教案編寫工作,編寫教案有利于我們準(zhǔn)確把握教材的重點(diǎn)與難點(diǎn),進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。我們應(yīng)該怎么寫教案呢?下面是小編幫大家整理的直線與平面垂直的判定優(yōu)秀教案,僅供參考,希望能夠幫助到大家。
直線與平面垂直的判定優(yōu)秀教案 1
一、教學(xué)目標(biāo)
1.借助對圖片、實(shí)例的觀察,抽象概括出直線與平面垂直的定義,并能正確理解直線與平面垂直的定義。
2.通過直觀感知,操作確認(rèn),歸納直線與平面垂直判定的定理,并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。
3.讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程,體驗(yàn)探索的樂趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。
2.教學(xué)難點(diǎn):操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用。
三、課前準(zhǔn)備
1.教師準(zhǔn)備:教學(xué)課件
2.學(xué)生自備:
三角形紙片、鐵絲(代表直線)、紙板(代表平面)、三角板
四、教學(xué)過程設(shè)計
1.直線與平面垂直定義的建構(gòu)
。1)創(chuàng)設(shè)情境
、僬埻瑢W(xué)們觀察圖片,說出旗桿與地面、高樓的側(cè)棱與地面的位置有什么關(guān)系?
②請把自己的數(shù)學(xué)書打開直立在桌面上,觀察書脊與桌面的位置有什么關(guān)系?
、壅垖ⅱ僦衅鞐U與地面的.位置關(guān)系畫出相應(yīng)的幾何圖形。
(2)觀察歸納
、偎伎迹阂粭l直線與平面垂直時,這條直線與平面內(nèi)的直線有什么樣的位置關(guān)系?
②多媒體演示:旗桿與它在地面上影子的位置變化。
③歸納出直線與平面垂直的定義及相關(guān)概念。
定義:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作:l⊥α.
直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面、直線與平面垂直時,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。
直線與平面垂直的判定優(yōu)秀教案 2
。ㄒ唬┠繕(biāo)
1、知識與技能
。1)使學(xué)生掌握直線與平面垂直,平面與平面垂直的性質(zhì)定理;
(2)能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題;
(3)了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互關(guān)系.
2、過程與方法
。1)讓學(xué)生在觀察物體模型的基礎(chǔ)上,進(jìn)行操作確認(rèn),獲得對性質(zhì)定理正確性的認(rèn)識;
3、情感、態(tài)度與價值觀
通過“直觀感知、操作確認(rèn)、推理證明”,培養(yǎng)學(xué)生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.
。ǘ┲攸c(diǎn)、難點(diǎn)
兩個性質(zhì)定理的證明.
。ㄈ┙虒W(xué)方法
學(xué)生依據(jù)已有知識和方法,在教師指導(dǎo)下,自主地完成定理的證明、問題的轉(zhuǎn)化.
教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入問題1:判定直線和平面垂直的方法有幾種?
問題2:若一條直線和一個平面垂直,可得到什么結(jié)論?若兩條直線與同一個平面垂直呢?師投影問題. 學(xué)生思考、討論問題,教師點(diǎn)出主題復(fù)習(xí)鞏固以舊帶新
探索新知一、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
1、問題:已知直線a、b和平面 ,如果 ,那么直線a、b一定平行嗎?
已知
求證:b∥a.
證明:假定b不平行于a,設(shè) =0
b′是經(jīng)過O與直線a平行的直線
∵a∥b′,
∴b′⊥a
即經(jīng)過同一點(diǎn)O的兩線b、b′都與 垂直這是不可能的,
因此b∥a.
2、直線與平面垂直的'性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
簡化為:線面垂直 線線平行生:借助長方體模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間相互平行,所以結(jié)論成立.
師:怎么證明呢?由于無法把兩條直線a、b歸入到一個平面內(nèi),故無法應(yīng)用平行直線的判定知識,也無法應(yīng)用公理4,有這種情況下,我們采用“反證法”
師生邊分析邊板書.
借助模型教學(xué),培養(yǎng)幾何直觀能力.,反證法證題是一個難點(diǎn),采用以教師為主,能起到一個示范作用,并提高上課效率.
直線與平面垂直的判定優(yōu)秀教案 3
一、教學(xué)內(nèi)容分析
《直線與平面垂直的判定》共2課時,本課是第1課時,本節(jié)課的內(nèi)容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分,均為概念性知識。本節(jié)內(nèi)容以“垂直”的判定為主線展開,“垂直”在定義和描述直線和平面位置關(guān)系中起著重要的作用,集中體現(xiàn)在:空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。
其中核心內(nèi)容為——直線與平面垂直的定義和判定定理。本節(jié)具有承上啟下的作用,在已有“直線與平面位置關(guān)系,直線與直線垂直定義與判定”的基礎(chǔ)上,引出直線與平面垂直,為學(xué)習(xí)“平面與平面的位置關(guān)系,平面與平面的垂直”做準(zhǔn)備,其中直線與直線垂直,直線與平面垂直,平面與平面垂直,這三類垂直問題的研究主線是類似的,都是以定義——判定——性質(zhì)為主線。判定定理的教學(xué),盡管新課標(biāo)在必修課程中不要求證明,但通過定理的探索過程,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺以及運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力,并體會“平面化”以及“降維”的轉(zhuǎn)化思想,是本節(jié)課的重要任務(wù)。
二、教學(xué)目標(biāo)的確定
1、課程目標(biāo)
。1)對空間幾何體整體觀察,認(rèn)識空間圖形;
。2)以長方體為載體,直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;
(3)能用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定;
(4)了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。
2、單元教學(xué)目標(biāo)
本單元將在前一單元整體觀察、認(rèn)識幾何體的基礎(chǔ)上,以長方體為載體,直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;通過對大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和說理,能進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法,學(xué)會準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言表述集合對象的位置關(guān)系,初步體驗(yàn)公理化思想,養(yǎng)成邏輯思維能力,并用來解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題。具體目標(biāo)是:
。1)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
①借助長方體模型,在直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義,了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作為推理的依據(jù)。
、谝粤Ⅲw幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。
、勰苓\(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。
3、“直線與平面垂直的判定”的課堂教學(xué)目標(biāo)
立體幾何的符號語言是數(shù)學(xué)簡約美的重要體現(xiàn)之一,從運(yùn)動的觀點(diǎn)來講,線可以看成是點(diǎn)的軌跡,面可以看成是線的軌跡,因此,線、面可以看成是點(diǎn)的集合,從而抽象出用集合語言描述點(diǎn)、線、面關(guān)系的符號語言。教學(xué)中,通過捕捉生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,抽象得出線面垂直的定義及判定,使生活問題數(shù)學(xué)化,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué),從而感受數(shù)學(xué)的魅力。正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾在他所著的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中所講:“數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)”,“數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)!
新課標(biāo)中立體幾何的體系和內(nèi)容都發(fā)生了較大的變化,要求能通過直觀感知、操作確認(rèn),歸納出直線和平面垂直的判定定理。
基于上述認(rèn)識,將單元目標(biāo)“以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定!本唧w化為:
(1)學(xué)生能借助直線與平面垂直的具體實(shí)例,解釋“直線與平面垂直”的含義;
。2)學(xué)生通過參與折紙?jiān)囼?yàn),歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理,并會用數(shù)學(xué)語言表述;
(3)會用直線與平面垂直的定義和判定定理進(jìn)行簡單的推理論證,并體會線線垂直與線面垂直相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
三、學(xué)生學(xué)情分析
大千世界,數(shù)學(xué)無處不在,線面垂直的定義及判定定理來源于大量的.生活現(xiàn)實(shí),如:大橋的橋柱和水面的位置關(guān)系,火箭與地面的位置關(guān)系,國旗旗桿與地面上的影子的位置關(guān)系,為何木工師傅使用直角尺一量就知道物體是否垂直?……這些是學(xué)生能夠感知的生活現(xiàn)實(shí),所以學(xué)生很容易得出線面垂直的定義,從而引出課題:如果用定義來判定直線與平面垂直在實(shí)際應(yīng)用時有困難(由于平面內(nèi)直線有無數(shù)條),那么是否存在更加簡便、易行的方法呢?線面垂直的判定定理則解決了上述困難。根據(jù)這一定理只要在平面內(nèi)選擇兩條相交直線,考慮它們是否與平面外的直線垂直即可。另外,直線與平面垂直的判定定理,體現(xiàn)的仍然是“平面化”的思想。當(dāng)然,通過直線與直線垂直判斷直線與平面垂直,還蘊(yùn)涵了“降維”的思想。
另外學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,已經(jīng)初步具有辯證唯物主義觀點(diǎn)和公理化的思想、空間想象能力和思維能力,以及學(xué)習(xí)了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,也已經(jīng)初步體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的基本思想。本節(jié)還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步體會空間與平面的轉(zhuǎn)化思想,使其得到螺旋式的鞏固和提高。
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時主要有以下兩個困難:
1、理解直線與平面垂直的定義,讓學(xué)生認(rèn)識到線面垂直是用線線垂直來刻畫的,逐步形成概念體系,體會其中的轉(zhuǎn)化思想,這對于高一的學(xué)生來講是比較困難的。
所以在設(shè)計教學(xué)時,首先通過一組圖片讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直的具體形象,然后將其抽象為幾何圖形,再用數(shù)學(xué)語言對幾何圖形進(jìn)行精確的描述,讓學(xué)生在此過程中體會直線與平面垂直定義的合理性。
2、用定義去判定直線與平面垂直是不方便的,如何在較短的時間內(nèi),讓多數(shù)學(xué)生找到判定直線與平面垂直的簡便方法,這需要一個較好的載體,去引導(dǎo)學(xué)生探究直線與平面垂直的判定定理,同時完成對定理?xiàng)l件的確認(rèn)。
所以,在教學(xué)過程中,通過折紙?jiān)囼?yàn),精心設(shè)置問題,引導(dǎo)學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理。并且引導(dǎo)學(xué)生通過操作、擺出反例模型,對定理的兩個關(guān)鍵條件“雙垂直”和“相交”進(jìn)行理解和確認(rèn)。
四、教學(xué)策略分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)集合的內(nèi)容,并且經(jīng)過函數(shù)、方程、不等式,三角函數(shù)等一系列內(nèi)容對集合語言的應(yīng)用,學(xué)生已經(jīng)非常熟悉,所以很容易發(fā)現(xiàn)并掌握用集合語言表示空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的符號語言。另外,在上一節(jié)當(dāng)中學(xué)習(xí)了直線與平面的位置關(guān)系、直線與平面平行的判定和性質(zhì),已經(jīng)初步體會到數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想;诖蠖鄶(shù)學(xué)生本身的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,通過直觀感知,學(xué)生容易抽象出線面垂直的定義,但對定義中“任意性”的理解卻是許多同學(xué)難以理解的,所以,在定義辨析中,通過一系列的設(shè)問,對“任意性”從正反兩方面,全方位、多角度進(jìn)行澄清,理解。
學(xué)生們通過動手探究的實(shí)踐過程,也容易抽象出數(shù)學(xué)命題即線面垂直的判定定理,但在操作確認(rèn)的過程中,有一點(diǎn)是學(xué)生不容易想到的,也是學(xué)生難以理解的,就是關(guān)于兩個關(guān)鍵條件:“雙垂直”和“相交”的感知和確認(rèn)。這里只能利用定義一條途徑來說明,通過階梯性的設(shè)問逐漸引導(dǎo)學(xué)生通過操作模型——旋轉(zhuǎn)和平移,并在教學(xué)過程中恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術(shù)——幾何畫板展示空間圖形,為理解和掌握圖形幾何性質(zhì)(包括證明)的教學(xué)提供形象的支持,提高學(xué)生的幾何直觀能力。將直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直轉(zhuǎn)化為與平面內(nèi)任意一條直線都垂直,從而加深對判定定理的理解。
在例題教學(xué)中,面向全體學(xué)生,創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍,通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價,一方面能夠加強(qiáng)對定義、定理的理解與應(yīng)用能力,另一方面也能夠調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性,給學(xué)生成功的體驗(yàn),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
根據(jù)以上分析,本節(jié)課采用啟發(fā)探究式的教學(xué)方式。
在啟發(fā)式教學(xué)過程中,以問題引導(dǎo)學(xué)生的思維活動。教學(xué)設(shè)計突出了對問題串的設(shè)計,教學(xué)中,結(jié)合學(xué)生的思維發(fā)展變化不斷追問,使學(xué)生對問題本質(zhì)的思考逐步深入,思維水平不斷提高。
嘗試通過試驗(yàn)的方法進(jìn)行立體幾何的教學(xué)。本節(jié)課主要是通過直觀感知、操作確認(rèn)歸納出直線和平面垂直的判定定理。但借助什么去感知?怎樣操作才能歸納出判定定理?確認(rèn)到什么程度,才能在不對定理進(jìn)行證明的情況下,不失數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性?本節(jié)課立足教材,重視對具體實(shí)例的觀察、分析,并且給學(xué)生提供動手操作的機(jī)會,引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察、操作等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論,把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中。
五、教學(xué)過程
原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在他所著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”,“數(shù)學(xué)活動是思維活動,對數(shù)學(xué)家而言,這是一個發(fā)現(xiàn)活動;對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說,我們要教給學(xué)生的不是死記現(xiàn)成的材料,而是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理(自己獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)科學(xué)上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的東西),學(xué)生發(fā)現(xiàn)那些在科學(xué)上早已被發(fā)現(xiàn)的東西的時候,他是像第一次發(fā)現(xiàn)者那樣去推理的。”[3]在弗賴登塔爾的論述中也指出:“學(xué)生通過自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的一部分”。 [2]新課標(biāo)也在倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式;谶@樣的理念的指導(dǎo),結(jié)合本課的教學(xué)內(nèi)容,本課采用啟發(fā)探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法,以問題為載體,學(xué)生活動為主線,給學(xué)生留下思考的空間,為學(xué)生創(chuàng)造合作、探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的氛圍,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,將傳授知識和培養(yǎng)能力融為一體。
本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情境、系列設(shè)問,學(xué)生體驗(yàn)探索新知的氛圍,學(xué)生從已有的線線垂直知識的經(jīng)驗(yàn),容易遷移得到線面垂直,體驗(yàn)成功的樂趣,產(chǎn)生繼續(xù)探索新發(fā)現(xiàn)的欲望,老師再帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線面垂直的判定定理,學(xué)生分組合作探究,使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展及解決的全過程,體會到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué),應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣。
直線與平面垂直的判定定理將原本判定直線與平面垂直的問題,通過判定直線和直線的垂直來解決。從獲得判定定理的思維來看,與獲得直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的過程類似。雖然平面內(nèi)直線有無數(shù)多條,但它卻可以由兩條相交直線完全確定,因此是否有“一條直線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直,那么就有這條直線就與平面內(nèi)任意直線垂直”就成為重點(diǎn)考察問題。
當(dāng)然,這時學(xué)生也許會問,兩條平行直線也確定一個平面,為什么不能用“一條直線與兩條平行直線垂直來判定呢?”實(shí)際上,由公理4知,平行具有“傳遞性”,因此一條直線與平面內(nèi)一條直線垂直,那么它與這個平面內(nèi)的平行于這條直線的所有直線都垂直,但不能保證與其他直線垂直。
所以,為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力,使他們在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上,歸納概括出直線與平面垂直的判定定理,學(xué)生通過教科書上的“探究”試驗(yàn):通過折疊三角形紙片,探究在什么條件下,就能使折痕與桌面垂直,通過動手實(shí)踐,自己發(fā)現(xiàn)“當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時……”,并對65頁的思考進(jìn)行交流,然后得到一般的結(jié)論(即判定定理),如果此時仍有學(xué)生心存質(zhì)疑,這時引導(dǎo)學(xué)生通過操作模型來認(rèn)識其本質(zhì)原因:一條直線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直,那么只要以AD為軸通過旋轉(zhuǎn)和平移就有這條直線就與平面內(nèi)任意直線垂直,其中必須保證有足夠的時間進(jìn)行探索活動。
例題教學(xué)中,第一題給出了一個判定直線和平面垂直時常用的命題:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于該平面。這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。第二題本題為課本的探究題,本題思路跳躍性較大,如果直接讓學(xué)生去做就會有一部分學(xué)生比較困難,產(chǎn)生畏難情緒,所以在探究之前先搭建兩個臺階,這樣學(xué)生思維活動就比較平緩,大部分學(xué)生都能順利探究出問題答案,從而樹立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。兩道例題均體現(xiàn)數(shù)學(xué)中線線垂直與線面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想。
學(xué)生對如何運(yùn)用定義、定理解決問題也是躍躍欲試,在展示學(xué)生答案之后,給全體學(xué)生一個暢所欲言的機(jī)會,互相評價,最終得到完善的答案,在集體交流中感受合作的巨大力量。這樣做,對于不善于表現(xiàn)自己的學(xué)生可能會失去和大家交流的機(jī)會,可能有個別學(xué)生要面臨一定的問題、困惑、挫折甚至失敗,但通過組內(nèi)合作交流和老師的指導(dǎo),也可以克服。這也體現(xiàn)了一個人成長、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過程,對于培養(yǎng)意志品質(zhì)起到了重要作用。
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