《梯形》教案

　　一、教學(xué)目標(biāo)：

　　1．通過(guò)探究教學(xué)，使學(xué)生掌握“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個(gè)判定方法，及其此判定方法的證明．

　　2．能夠運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)學(xué)建模的思想，會(huì)用分析法尋求證明題思路，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力．

　　3．通過(guò)添加輔助線，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想．

　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

　　1．重點(diǎn)：掌握等腰梯形的判定方法并能運(yùn)用．

　　2．難點(diǎn)：等腰梯形判定方法的運(yùn)用．

　　三、例題的意圖分析

　　本節(jié)課安排的例題與練習(xí)較多，可供老師們選用．

　　例1是教材P119的例2，這是一道計(jì)算題，講解時(shí)要讓學(xué)生注意，已知中并沒(méi)有給出等腰梯形的條件，它需要先判定梯形ABCD為等腰梯形，然后再用其性質(zhì)得出結(jié)論．

　　例2、例3、例4都是補(bǔ)充的題目．其中例2是一道文字題，這道題在進(jìn)行證明時(shí)，可采用“平移對(duì)角線”或“作高”兩種不同的方法，通過(guò)講解例2，可以再次給學(xué)生介紹解決梯形問(wèn)題時(shí)輔助線的添加方法．

　　例3是一道證明等腰梯形的題，它需要先證明其四邊形是梯形，即先證出EG∥AB，此時(shí)還要由AE，BG延長(zhǎng)交于O，說(shuō)明EGAB，才能得出四邊形ABGE是梯形．然后再利用同底上的`兩角相等得出這個(gè)梯形是等腰梯形．選講此題的目的是為了讓學(xué)生了解和掌握證明一個(gè)四邊形是等腰梯形的步驟與方法．

　　例4是一道作圖題，新教材P119的練習(xí)4就是一道畫(huà)梯形圖的題，此例4與練習(xí)4相同．通過(guò)此題的講解與練習(xí)，就是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)梯形概念的理解，并了解梯形作圖的一般方法．讓學(xué)生知道梯形的畫(huà)圖題，也常常是通過(guò)分析，找出需要添加的輔助線，先畫(huà)出三角形或四邊形，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系畫(huà)出所要求的梯形．

　　四、課堂引入

　　1．復(fù)習(xí)提問(wèn)：

　�。�1）什么樣的四邊形叫梯形，什么樣的梯形是直角梯形、等腰梯形？

　　（2）等腰梯形有哪些性質(zhì)？它的性質(zhì)定理是怎樣證明的？

　�。�3）在研究解決梯形問(wèn)題時(shí)的基本思想和方法是什么？常用的輔助線有哪幾種？

　　我們已經(jīng)掌握了等腰梯形的性質(zhì)，那么又如何來(lái)判定一個(gè)梯形是否是等腰梯形呢？今天我們就共同來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．

　　2．【提出問(wèn)題】：前面所學(xué)的特殊四邊形的判定基本上是性質(zhì)的逆命題．等腰梯形同一底上兩個(gè)角相等的逆命題是什么？

　　命題：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

　　問(wèn)：這個(gè)命題是否成立？能否加以證明，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知、求證．

　　啟發(fā)：能否轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，和求證．

　　已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，C．

　　求證：AB=CD．

　　分析：我們學(xué)過(guò)“如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊相等．”因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩個(gè)底角，命題就容易證明了．

　　證明方法1：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)F，得到△DEC．

　　∵AB∥DE， 1，

　　∵C， C． DE＝DC．

　　又∵AD∥BC， DE＝AB=DC．

　　證明時(shí)，可以仿照性質(zhì)證明時(shí)的分析，來(lái)啟發(fā)學(xué)生添加輔助線DE．

　　證明方法二：用常見(jiàn)的梯形輔助線方法：過(guò)點(diǎn)A作AEBC， 過(guò)D作DFBC，垂足分別為E、F（見(jiàn)圖一）．

　　證明方法三： 延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E（見(jiàn)圖二）． 圖一 圖二

　　通過(guò)證明：驗(yàn)證了命題的正確性，從而得到：等腰梯形判定方法

　　等腰梯形判定方法 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形．

　　幾何表達(dá)式：梯形ABCD中，若C，則AB=DC．

　　【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“兩腰相等”“或同一底上的兩個(gè)角相等”來(lái)判定它是等腰梯形．

　　五、例、習(xí)題分析

　　例1（教材P119的例2）

　　例2（補(bǔ)充） 證明：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．

　　已知：如圖，梯形ABCD中，對(duì)角線AC=BD．

　　求證：梯形ABCD是等腰梯形．

　　分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對(duì)角線相等的條件來(lái)構(gòu)造等腰三角形．在ABC和DCB中，已有兩邊對(duì)應(yīng)相等，要能證2，就可通過(guò)證ABC ≌DCB得到AB=DC．

　　證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

　　又 AD∥BC， 四邊形ACED為平行四邊形，DE=AC ．

　　∵ AC=BD ，DE=BDE

　　∵ E ，2

　　又 AC=DB，BC=CE，ABC≌DCB．AB=CD．

　　梯形ABCD是等腰梯形．

　　說(shuō)明：如果AC、BD交于點(diǎn)O，那么由2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形對(duì)角線相交，可以得到以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，這個(gè)結(jié)論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路．

　　問(wèn)：能否有其他證法，引導(dǎo)學(xué)生作出常見(jiàn)輔助線，如圖，作AEBC，DFBC，可證 RtABC≌RtCAE，得2．

　　例3（補(bǔ)充） 已知：如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，CFBE交BD于G，F(xiàn)是垂足．求證：四邊形ABGE是等腰梯形．

　　分析：先證明OE＝OG，從而說(shuō)明OEG＝45，得出EG∥AB，由AE，BG延長(zhǎng)交于O，顯然EGAB．得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形．

　　例4 （補(bǔ)充）畫(huà)一等腰梯形，使它上、下底長(zhǎng)分別4cm、12cm，高為3cm，并計(jì)算這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)和面積．

　　分析：梯形的畫(huà)圖題常常通過(guò)分析，找出需添加的輔助線，歸結(jié)為三角形或平行四邊形的作圖，然后，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系，畫(huà)出所要求的梯形．

　　如圖，先算出AB長(zhǎng)，可畫(huà)等腰三角形ABE，然后完成 AECD的畫(huà)圖．

　　畫(huà)法：①畫(huà)ABE，使BE=124=8cm．

　　.

　�、谘娱L(zhǎng)BE到C使EC=4cm.

　�、鄯謩e過(guò)A、C作AD∥BC ，CD∥AE，AD、CD交于點(diǎn)D．

　　四邊形ABCD就是所求的等腰梯形．

　　解：梯形ABCD周長(zhǎng)＝4＋12＋52＝26cm ．

　　答：梯形周長(zhǎng)為26cm，面積為24 ．

　　六、隨堂練習(xí)

　　1．下列說(shuō)法中正確的是（ ）．

　�。ˋ）等腰梯形兩底角相等

　�。˙）等腰梯形的一組對(duì)邊相等且平行

　�。–）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角都等于90度

　　（D）等腰梯形的四個(gè)內(nèi)角中不可能有直角

　　2．已知等腰梯形的周長(zhǎng)25cm,上、下底分別為7cm、8cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi)______cm．

　　3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一條對(duì)角線和一腰垂直，求這個(gè)梯形的各個(gè)角的度數(shù)．

　　4．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB＞DC，2，AC=BD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

　　（略證 ，AD=BC， ， AB∥DC）

　　5．已知，如圖，E、F分別是梯形ABCD的兩底AD、BC的中點(diǎn)，且EFBC，求證：梯形ABCD是等腰梯形．

　　七、課后練習(xí)

　　1．等腰梯形一底角 ，上、下底分別為8，18，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)_____，高為_(kāi)_____，面積是_________．

　　2．梯形兩條對(duì)角線分別為15，20，高為12，則此梯形面積為_(kāi)________．

　　3．已知：如圖，在四邊形ABCD中，C，AB與CD不平行，且AB=CD．求證：四邊形ABCD是等腰梯形．

　　4．如圖4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CEAB于E，若ACBD于G．求證：CE= （AB+CD）．

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