二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)(學(xué)案)
學(xué)習(xí)內(nèi)容：
1、二次函數(shù)的概念；
2、二次函數(shù)的圖象；
3、二次函數(shù)的性質(zhì)。
學(xué)習(xí)要求：
1、理解二次函數(shù)的概念，會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，理解二次函數(shù)與拋物線的有關(guān)概念
2、通過二次函數(shù)的圖象，理解并掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會判斷二次函數(shù)的開口方向；會求頂點坐標(biāo)，
會判頂點坐標(biāo)，對稱軸方程；會判斷并求出最大值或最小值；會判斷增減性，等等。
3、由圖象能確定a、b、c、△的符號，及判定。
學(xué)習(xí)重點：
二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及運用。
學(xué)習(xí)難點：
二次函數(shù)的圖象的畫法以及理解y=a（x—h）2+h型拋物線是由拋物線y=ax2平移而得到的。
例題分析
第一階梯
例1、在同一坐標(biāo)系中畫出下列二次函數(shù)的圖象。
1、 2、y=3x2
3、 4、y=－3x2
提示：
以上四個二次函數(shù)我們在列表時首先在所列的表正中位置選擇點（0，0），然后再在兩邊找對應(yīng)的
點，畫好圖象后就能發(fā)現(xiàn)首先確定點（0，0）的重要性。
參考答案：
觀察圖象我們應(yīng)掌握以下幾點。
二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。
1、拋物線當(dāng)a>0時，向上無限延伸，同時a>0，拋物線開口向上拋物線當(dāng)a<0時，向上無限延伸，同時當(dāng)a<0時，拋物線開口向下。
2、拋物線以y軸為對稱軸，由于y軸上的點的橫坐標(biāo)為零，我們也說對稱軸方程為x=0。
3、拋物線的頂點是這樣定義：拋物線與對稱軸交點叫拋物線的頂點。所以拋物線y=ax2（a≠0）的頂點坐標(biāo)為（0，0）。這就是我們在畫圖象時首先確定點（0，0）的理由，再根據(jù)拋物線關(guān)于y軸對稱，我們在確定其它點時，也選對稱的點，這樣既能減少運算量，又能使圖象畫的優(yōu)美、準(zhǔn)確。
4、二次函數(shù)的最大、最小值。
�、佼�(dāng)a>0時，拋物線開口向上，它有最底點，所以存在最小值。這個最小值就是當(dāng)x取頂點橫坐標(biāo)，頂點縱坐標(biāo)的值就是二次函數(shù)的最小值。
�、诋�(dāng)a<0時，拋物線開口向下，它有最高點，所以存在最大值。這個最大值就是當(dāng)x取頂點橫坐標(biāo)，頂點縱坐標(biāo)的值就是二次函數(shù)的最大值。
5、二次函數(shù)的'增、減性。
�、佼�(dāng)a>0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減��；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大。
�、诋�(dāng)a<0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而減小。
例2、在同一坐標(biāo)系下畫出二次函數(shù)y=x2和的圖象，尋求兩條拋物線的聯(lián)系并探索拋物線與拋物線的聯(lián)系。
參考答案：
一般情況下由于（可轉(zhuǎn)化為的圖象可由函數(shù)y=x2的圖象先向左平移個單位，再向上平移個單位得到。
例3、畫拋物線的圖象。
提示：為了能更好的畫出圖象，我們對原關(guān)系式進(jìn)行配方變形，即：
參考答案：
第二階梯
例1、分別指出下列二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)，對稱軸方程、最大或最小值。
提示：
每一個二次函數(shù)都可利用配方法將其轉(zhuǎn)化成的形式，在這種形式下比較容易解決上述問題，也可根據(jù)對二次函數(shù)一般式的研究結(jié)果直接得出結(jié)論。
參考答案：
又∵二次項系數(shù)為—2<0
∴拋物線開口向下，y有最大值－3
頂點坐標(biāo)（－1，－3），對稱軸方程x=－1
說明：
通過二次函數(shù)的系數(shù)得到二次函數(shù)圖象的性質(zhì)指導(dǎo)人們正確的作出函數(shù)圖象，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想
方法。
例2、已知拋物線經(jīng)過三點a（－1，0），b（6，0），c（0，－6），求二次函數(shù)的解析式。
參考答案：
解1：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為：
由已知有：
解得：a=1，b=－5，c=－6
即所求二次函數(shù)的解析式為
解2：由已知設(shè)所求二次函數(shù)解析式為：
∵函數(shù)圖象經(jīng)過c（0，－6）點
∴－6=a（0+1）（0－6）
解得：a=1
∴所求函數(shù)解析式為
即：
例3、已知拋物線經(jīng)過a（0，－1）點，且其頂點坐標(biāo)為（－1，2），求二次函數(shù)的解析式。
提示：
若利用二次函數(shù)的一般式，需布列關(guān)于a、b、c的三個方程，由于頂點是很特殊的點，利用它可得到兩個方程①和②，再由已知可得第三個方程c=－1，通過解方程組可以求出解析式。但如果我們把①，②整體代入有：，問題就簡便多了。一般情況下，若已知拋物線頂點為（m，n），可將解析式設(shè)為。
參考答案：
說明：
當(dāng)已知函數(shù)解析式形式時，先設(shè)出所求的解析式，再根據(jù)已知條件布列方程，通過解方程得到待定的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法，一般情況下解決同一個求解析式問題，待定系數(shù)越少，解題過程越簡單。另外根據(jù)已知條件布列方程（或方程組）和解方程（或方程組）是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，必須熟練掌握。
練習(xí)題
1、函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）
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（b）
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2、二次函數(shù)的頂點關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)是（）
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（c）
�。╠）
3、函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_______。
4、函數(shù)中y的最小值是_______。
5、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過a（－3，0）、b（2，0）和c（－2，－4）三點求二次函數(shù)的解析式。
6、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過a（－1，2）、b（3，2）和c（1，0）三點，求二次函數(shù)的解析式。
7、在△abc中，ab=ac=3，，e是bc邊上的點，ep⊥ab于p，ef∥ab交ac于f，設(shè)bp=x，
梯形apef的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。
參考答案：
1、c
2、d
3、全體實數(shù)
4、0
5、答案：
6、提示1：用一般式解方程
提示2：由于a（－1，2）和b（3，2）關(guān)于直線x=1對稱，故x=1是拋物線對稱軸，又過c（1，0），
故c為拋物線頂點可設(shè)拋物線方程為，最終求出解析式為
7、答案：