對(duì)你發(fā)現(xiàn)了什么的思考數(shù)學(xué)教學(xué)反思
內(nèi)容摘要：有怎樣的教學(xué)理念就會(huì)有怎樣的教學(xué)行為，這句話是有道理的。在新課程新理念的熏陶下，教師的課堂提問也發(fā)生了變化：封閉性問題少了，開放性問題多了。筆者對(duì)“你發(fā)現(xiàn)了什么？”這一開放性問題作了思考：怎樣通過這一小小的提問，構(gòu)建“發(fā)現(xiàn)”的平臺(tái)、創(chuàng)設(shè)“發(fā)現(xiàn)”的時(shí)空、提高“發(fā)現(xiàn)”的質(zhì)量，體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)”的快樂；通過“發(fā)現(xiàn)”，讓學(xué)生在過程中建構(gòu)知識(shí)，在操作中尋找規(guī)律，在思考中發(fā)展思維，在感受中健康成長(zhǎng)。
關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn) 開放 建構(gòu) 思維
近日整理聽課筆記，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：課堂上諸如“對(duì)不對(duì)？”、“可不可以這樣？”、“好不好”等的封閉型問題少了，取而代之的是“你認(rèn)為如何？”、“你是怎樣想的？”、“你能想出幾種方法？”等極具開放性的提問。不可以不說這樣的轉(zhuǎn)變體現(xiàn)了教學(xué)的開放，反映了新課程的理念。筆者對(duì)此做了一些思考。
思考一：“你發(fā)現(xiàn)了什么？”應(yīng)是理念的轉(zhuǎn)變
案例一：揭示比例意義的概念（學(xué)生計(jì)算各比的比值后，教師板書）
3∶5＝18∶30 0.4∶0.2＝1.8∶0.9 ∶＝7.5∶3
師：這就是今天我們要研究的比例。觀察這三道等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？
生：我發(fā)現(xiàn)3∶5＝18∶30中3到18擴(kuò)大6倍，5到30也擴(kuò)大6倍。
生：我發(fā)現(xiàn)0.4∶0.2＝1.8∶0.9中，0.4是0.2的2倍，1.8是0.9的2倍。
生：我發(fā)現(xiàn)前項(xiàng)擴(kuò)大幾倍，為保持比值不變，后項(xiàng)也應(yīng)擴(kuò)大幾倍。
師（面露難色）我們看看表現(xiàn)形式，直觀看有什么特點(diǎn)？
（生疑惑）
師：（無奈，分別指向三個(gè)等號(hào)）這些等號(hào)說明了什么？
終于有個(gè)學(xué)生說出表示兩個(gè)比相等。
師：對(duì)了，像這樣兩個(gè)比相等的式子叫比例。
案例中“觀察這三道等式，你發(fā)現(xiàn)了什么”這一開放性提問“一石激起千層浪”，學(xué)生的思維十分活躍，答案五花八門，課堂氣氛很熱鬧�？晌覀円膊浑y發(fā)現(xiàn)，教學(xué)效果不盡理想，雖然學(xué)生的回答可以說十分精彩，但離教學(xué)目標(biāo)相差甚遠(yuǎn)，最后執(zhí)教老師不得不“無奈地分別指向三個(gè)等號(hào)問：這些等號(hào)說明了什么？”這樣生澀地把教學(xué)帶向下一步。
應(yīng)該說開放性的提問正符合了新課程提出的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)……數(shù)師應(yīng)激發(fā)學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”等理念。但本案例中的“你發(fā)現(xiàn)了什么”卻阻礙了教學(xué)。可見，開放性的提問應(yīng)是一種教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變。這樣轉(zhuǎn)變未嘗不是一件好事，課堂開放了，學(xué)生靈動(dòng)起來了，智慧在師生互動(dòng)中流淌。但任何一件事都是一把“雙刃劍”，“你發(fā)現(xiàn)了什么”的開放性提問如果用在了不適當(dāng)?shù)膬?nèi)容，不恰當(dāng)?shù)牡胤�，就起不到積極的作用，反而會(huì)像上述案例那樣適得其反。
思考二：構(gòu)建“發(fā)現(xiàn)”平臺(tái)，在過程中建構(gòu)知識(shí)
案例二：乘法分配率教學(xué)片段
教師出示三道題請(qǐng)同學(xué)們至少選擇一題，用兩種方法解答。
�。�1）上衣每件114元，褲子86元。如果購(gòu)買50套需要多少元？
�。�2）桌子每張56元，椅子每把24元，買三套需要多少元？
�。�3）學(xué)校給鼓號(hào)隊(duì)48人買隊(duì)服和鞋。每套隊(duì)服65元，每雙白球運(yùn)動(dòng)鞋5元。一共需要多少元？
同桌互相說說自己是怎樣算的？哪種方法簡(jiǎn)便，為什么？
�。s5分鐘后，學(xué)生說明思路及計(jì)算方法，師板書。）
�。�114＋86）×50 114×50＋86×50
（56＋24）×3 56×3＋24×3
�。�65＋5）×48 65×48＋5×48
師：每道題兩種方法都能夠得出相同的結(jié)果，我們就可以說左右兩個(gè)算式是什么關(guān)系？
生：左右相等。
師：請(qǐng)仔細(xì)觀察、分析這三個(gè)等式，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？
生：我們小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)這三個(gè)等式左右兩邊都有加法和乘法。
生：我們發(fā)現(xiàn)左右兩個(gè)算式都有相同的數(shù)。
師：你們找到了共同點(diǎn)，有相同的數(shù)和運(yùn)算符號(hào)。很細(xì)致的比較，那么有不同的地方嗎？
生：我們發(fā)現(xiàn)：左邊算式先求和再求積，有小括號(hào)；而右邊的算式先求兩個(gè)積，再求和，沒有小括號(hào)。
生：我們發(fā)現(xiàn)每道題的兩種方法，在計(jì)算時(shí)有一種方法簡(jiǎn)便，另一種不簡(jiǎn)便。
生：左邊的數(shù)50、3、48只用一次，而右邊的算式中用了2次。
生：我補(bǔ)充，我們發(fā)現(xiàn)左邊的算式中先求兩個(gè)的和，再乘一個(gè)數(shù)，而另邊的算式只不過用兩個(gè)數(shù)分別去乘這個(gè)數(shù)。
師：非常好。正因?yàn)橛辛思?xì)致的觀察，大家才會(huì)有如此多精彩的發(fā)現(xiàn)。剛才這位同學(xué)回答時(shí)用了一個(gè)詞特別好。想想是哪個(gè)詞？
生：分別。
師：對(duì)了，那么誰來結(jié)合例子具體說說“分別”的意思。
……
數(shù)學(xué)知識(shí)的形成是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，其間蘊(yùn)涵著人們豐富的創(chuàng)造性發(fā)揮。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，就是將前人的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成自己的知識(shí)財(cái)富的復(fù)雜過程。案例二中“仔細(xì)觀察、分析這三個(gè)等式，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？”的提
問引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題、把生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生親身經(jīng)知識(shí)發(fā)生并逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。
同樣是觀察幾道算式，問學(xué)生有什么發(fā)現(xiàn)，比起案例一來講，案例二顯然是成功的，教學(xué)效果是有效的。為什么會(huì)這樣呢？關(guān)鍵是為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)發(fā)現(xiàn)的平臺(tái)。案例一中只讓學(xué)生計(jì)算了一下各個(gè)比的比值，初步看了一下后就問學(xué)生你有什么發(fā)現(xiàn)，此時(shí)學(xué)生的觀察體會(huì)都是淺層次的，浮淺的，再加上提問沒有明確的指向性，學(xué)生抓不住教師的要點(diǎn)，自然回答不到點(diǎn)子上。而在案例二中，教師創(chuàng)設(shè)了生活情境，在解決問題中列出算式。教師適時(shí)提出要求：同桌互相說說自己是怎樣算的？哪種方法簡(jiǎn)便，為什么？讓學(xué)生深入思考，充分交流。在此基礎(chǔ)上，教師再拋出“仔細(xì)觀察、分析這三個(gè)等式，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？”這一問題，學(xué)生的交流自然是精彩的，發(fā)現(xiàn)當(dāng)然是繽紛的，生成必然是創(chuàng)新的。
其實(shí)，“你發(fā)現(xiàn)了什么”這樣的問題設(shè)計(jì)，目的是為了課堂教學(xué)的精彩生成，而這當(dāng)然少不了教師課前的精心預(yù)設(shè)，這是一個(gè)師生互動(dòng)、互學(xué)的過程。案例一中的設(shè)計(jì)，如果能放在比例意義概念揭示以后，讓學(xué)生多寫幾組比例，然后仔細(xì)觀察寫出的比，體會(huì)寫比的過程。在此基礎(chǔ)上教師可以提問：比例表示兩個(gè)比相等，其實(shí)它有著很多有趣的特征。請(qǐng)仔細(xì)觀察，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？這樣教學(xué)就會(huì)事半功倍了。
思考三：提供“發(fā)現(xiàn)”時(shí)空，在操作中尋找規(guī)律
案例三：
教師借助演示，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“有6個(gè)梨，每3個(gè)裝一盤，可裝幾盤？”并誘發(fā)學(xué)生列出算式6÷3＝2。接著，教師把“梨”的個(gè)數(shù)分別設(shè)為7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)，讓學(xué)生把教師發(fā)給的“紙片梨”、“紙片盤”拿出來，同桌間進(jìn)行操作、討論，并要求出算式。交流時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的回答，板書：
6÷3＝2（盤）……0（個(gè)）
7÷3＝2（盤）……1（個(gè)）
8÷3＝2（盤）……2（個(gè)）
9÷3＝3（盤）……0（個(gè)）
10÷3＝3（盤）……1（個(gè)）
11÷3＝3（盤）……2（個(gè)）
師：根據(jù)上面這一組算式，你們能發(fā)現(xiàn)什么？
生：除數(shù)都是3。
生：被除數(shù)一個(gè)比一個(gè)大1。
生：余數(shù)只會(huì)出現(xiàn)0、1、2三個(gè)數(shù)。
師：那么，余數(shù)會(huì)不會(huì)出現(xiàn)3呢？
生：不會(huì)。因?yàn)槿绻�余3個(gè)的話，那么就可以再裝一“盤”了，這樣余數(shù)又為0了。
師：除數(shù)為3時(shí)，余數(shù)有0、1、2三種可能，這說明了什么？
生：我猜，余數(shù)要比除數(shù)小。
師：是這樣嗎？大家再舉一些例子，比如我們現(xiàn)在令除數(shù)為4，寫幾道算式，研究研究。
�。▽W(xué)生操作）
師：你現(xiàn)在又有什么發(fā)現(xiàn)？能用一句話概括嗎？
生（高興地）：余數(shù)必須比除數(shù)小。
……
這一教學(xué)片斷以學(xué)生活動(dòng)為主，學(xué)生親自參與探究過程，而教師的作用主要體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)親自動(dòng)手操作的情境，充分提供給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的時(shí)空，讓學(xué)生積累一些感性認(rèn)識(shí)。教師通過兩個(gè)開放性提問：“根據(jù)上面這一組算式，你們能發(fā)現(xiàn)什么？”、“大家再舉一些例子，比如我們現(xiàn)在令除數(shù)為4，寫幾道算式，研究研究。你現(xiàn)在又有什么發(fā)現(xiàn)？能用一句話概括嗎？”引領(lǐng)學(xué)生觀察、比較、討論。使學(xué)生的自主探索、小組合作有的放矢，有章可循。
教學(xué)實(shí)踐給我們這樣的啟示：書本上的知識(shí)是前人總結(jié)出來，但對(duì)于學(xué)生來說，又是有待發(fā)現(xiàn)的新知識(shí)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引領(lǐng)（你發(fā)現(xiàn)了什么只是其中一種有效的手段）學(xué)生按一定的步驟去自學(xué)地提出問題、研究問題、解決問題、發(fā)現(xiàn)新知，從而使他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中獲得成功的精神體驗(yàn)。即使學(xué)生一時(shí)不能發(fā)現(xiàn)問題，教師也要有足夠的耐心，給學(xué)生充足的時(shí)間，等待學(xué)生去思考，去操作，去交流，去發(fā)現(xiàn)知識(shí)，尋找規(guī)律。
思考四：提高“發(fā)現(xiàn)”質(zhì)量，在思考中發(fā)展思維
案例四：組兩位數(shù)
教師出示：有5張數(shù)字卡片1、2、3、4、5，從中抽出2張組成兩位數(shù)，你能組哪些呢？你知道一共有幾個(gè)兩位數(shù)？
生：12、23、34、45、42、
生：21、24、13、51、35
……
學(xué)生們七嘴八舌地說著，教師一一板書在黑板上。
師：還有其他答案嗎？
生：想不出來了。
師：很好，一起來數(shù)一數(shù)，一共有幾個(gè)？
生：20個(gè)。
很顯然，這是一道開放式練習(xí)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。答案找到了，一共有20個(gè)。但本案的教學(xué)似乎總?cè)绷它c(diǎn)什么？用我們現(xiàn)在流行的話說：味道沒有做足，蛋糕沒有做大。開放練習(xí)可以從質(zhì)和量?jī)蓚�(gè)方面來發(fā)展學(xué)生的思維。量指學(xué)生在解決問題時(shí)“想得多”和“想得快”；質(zhì)指學(xué)生在解決問題時(shí)“想得全”，即不重復(fù)、不遺漏，有規(guī)律地尋找解決問題的方法或全部答案。這是對(duì)學(xué)生思維的更高的要求。而本案例中學(xué)生的表現(xiàn)卻是想到什么說什么，思維是零散、無序的。教師也僅僅停留在從量的方面上發(fā)展學(xué)生的思維，忽視了對(duì)“質(zhì)”的追求，忽視了習(xí)題中隱含的規(guī)律，忽視了對(duì)學(xué)生有序思維的培養(yǎng)。利用開放性問題的獨(dú)特作用，我們可以這樣組織教學(xué)。
師：靠著集體的智慧我們終于找到了所有的答案�？晌铱偢杏X不是很好？你們呢？
�。ㄗ寣W(xué)生也感覺到這樣零散地想，不夠系統(tǒng)，容易遺漏或重復(fù)。一個(gè)人想的話，就更不容易想全了。）
師：讓我們把剛才大家寫出來的兩位數(shù)排排順序。
學(xué)生的排列方式有很多，教師引領(lǐng)學(xué)生統(tǒng)一一種排法，即：12、13、14、15；21、23、24、25；31、32、34、35；41、42、43、45；51、52、53、54。并分行排列，如下
12、13、14、15；
21、23、24、25；
31、32、34、35；
41、42、43、45；
51、52、53、54。
師：仔細(xì)觀察我們排列好的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？
給學(xué)生充分的時(shí)間觀察、交流，發(fā)表意見，最后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到找兩位數(shù)的較好較快的方法是先確定十位上的數(shù)，再確定個(gè)位上的數(shù)。按這樣的方法寫兩位數(shù)，能做到有條不紊。按照年段的不同，我們可以提出不同的教學(xué)目標(biāo)。如果這一內(nèi)容放在高段，我們不妨再提高要求，可以引入乘法原理的初步知識(shí)。不管怎樣，通
過這樣的`調(diào)整，即培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，發(fā)散性，更能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和科學(xué)性。
思考五：體驗(yàn)“發(fā)現(xiàn)”快樂，在感受中健康成長(zhǎng)
案例五：求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。
出示題目：求12和30的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。
（學(xué)生很快都用短除法的形式求出12和30的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是60。這顯然不是本節(jié)課探求的重點(diǎn)。本節(jié)課的目的是要讓學(xué)生通過深入的觀察、分析、比較、總結(jié)，發(fā)現(xiàn)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的異同。于是執(zhí)教老師提出了新的要求。）
師：其實(shí)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著密切的關(guān)系，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察用短除法求解的過程，先獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流一下，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？
集體交流時(shí)，學(xué)生發(fā)言很踴躍。
生：我們小組得出求最大公約數(shù)和求最小公倍數(shù)的相同點(diǎn)有：都是用短除法的形式分解質(zhì)因數(shù)的，都要用它們公有的質(zhì)因數(shù)或公約數(shù)去除，都要一直除到兩個(gè)商互質(zhì)數(shù)為止。
生：我們發(fā)現(xiàn)了不同點(diǎn)是：最大公約數(shù)是將所有的除數(shù)乘起來，也就是公有的質(zhì)因數(shù)相乘，而最小公倍數(shù)要將除數(shù)和商都乘起來，也就是公有的質(zhì)因數(shù)和它們每個(gè)獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)相乘。
師：分析地很好，這是它們最本質(zhì)的區(qū)別，正是求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)方法不同的地方，最容易混淆，咱們?cè)谧龅臅r(shí)候要注意別乘錯(cuò)了。
生：老師，我們小組有一個(gè)發(fā)現(xiàn)，12和30的最小公倍數(shù)60是它們最大公約數(shù)6的10倍，這正好是除到的兩個(gè)商2和5的乘積。
師：有意思，還有什么發(fā)現(xiàn)呢？
生：我也有個(gè)發(fā)現(xiàn)，不知對(duì)不對(duì)。我想可以用12×5或30×2，積都是60，這就是它們的最小公倍數(shù)。
師：將這兩個(gè)數(shù)和短除法后所得的商交差相乘，還真能得到這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
生（高興地）：這樣不就可以用來檢驗(yàn)了嗎？
師：同學(xué)們真了不起，連驗(yàn)算都想到了。不過，我有個(gè)疑惑，這些發(fā)現(xiàn)是否真的正確，換其它的數(shù)能否成立？
生：我們可以舉例驗(yàn)證一下。
師：這是個(gè)好提意，大家動(dòng)手做吧，也許你還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)呢？……
學(xué)生興致勃勃地投入到新的探索中去，爭(zhēng)辯聲、笑聲不時(shí)回蕩在教室內(nèi)。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心�！痹谡n堂上，教師通過創(chuàng)設(shè)一定的情境，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探究與創(chuàng)造。學(xué)生通過積極思考、自主探究與合作交流，獲得了成功的喜悅，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
在上述案例中，學(xué)生之所以會(huì)有那樣的發(fā)現(xiàn)，開放性的提問（幾次問你有什么發(fā)現(xiàn)）、教師的鼓勵(lì)無疑起到了推波助瀾的作用。學(xué)生不但自己首先品嘗到了“發(fā)現(xiàn)――成功”的快樂，同時(shí)還引領(lǐng)其他學(xué)生進(jìn)入更深層次的思考，于是便有了更精彩的發(fā)現(xiàn)。在這樣的教學(xué)中，學(xué)生的思維過程得以盡情展示，情感得以盡情宣泄。這樣良好的氛圍，積極的心理場(chǎng)，激勵(lì)著學(xué)生向科學(xué)的殿堂攀登。
教學(xué)需要關(guān)注細(xì)節(jié)，讓我們進(jìn)一步思考“你發(fā)現(xiàn)了什么？”，也許你會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。
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