三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)
●知識(shí)梳理
1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函 數(shù)
性 質(zhì)=sinx=csx=tanx
定義域
值域
圖象
奇偶性
周期性
單調(diào)性
對(duì)稱性
注:讀者自己填寫.
2.圖象與性質(zhì)是一個(gè)密不可分的整體,研究性質(zhì)要注意聯(lián)想圖象.
●學(xué)生練習(xí)
1.函數(shù)=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC. D.4π
解析:= cs2x- sin2x+sin2x= cs2x+ sin2x=sin( +2x),T=π.
答案:B
2.若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù),則f(x)可以是
A.sinxB.csxC.sin2xD.cs2x
解析:檢驗(yàn).
答案:B
3.函數(shù)=2sin( -2x)(x∈[0,π])為增函數(shù)的區(qū)間是
A.[0, ]B.[ , ]
C.[ , ]D.[ ,π]
解析:由=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區(qū)間可由=2sin(2x- )的減區(qū)間得到,即2π+ ≤2x- ≤2π+ ,∈Z.
∴π+ ≤x≤π+ ,∈Z.
令=0,故選C.
答案:C
4.把=sinx的圖象向左平移 個(gè)單位,得到函數(shù)____________的圖象;再把所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,而縱坐標(biāo)保持不變,得到函數(shù)____________的圖象.
解析:向左平移 個(gè)單位,即以x+ 代x,得到函數(shù)=sin(x+ ),再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,即以 x代x,得到函數(shù):=sin( x+ ).
答案:=sin(x+ ) =sin( x+ )
5.函數(shù)=lg(csx-sinx)的定義域是_______.
解析:由csx-sinx>0 csx>sinx.由圖象觀察,知2π- <x<2π+ (∈Z).
答案:2π- <x<2π+ (∈Z)
●典例剖析
【例1】 (1)=csx+cs(x+ )的最大值是_______;
(2)=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是_______.
剖析:(1)=csx+ csx- sinx
= csx- sinx= ( csx- sinx)
= sin( -x).
所以ax= .
。2)T= ,相鄰對(duì)稱軸間的距離為 .
答案:
【例2】 (1)已知f(x)的定義域?yàn)椋?,1),求f(csx)的定義域;
。2)求函數(shù)=lgsin(csx)的定義域.
剖析:求函數(shù)的定義域:(1)要使0≤csx≤1,(2)要使sin(csx)>0,這里的csx以它的值充當(dāng)角.
解:(1)0≤csx<1 2π- ≤x≤2π+ ,且x≠2π(∈Z).
∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈[2π- ,2π+ ]且x≠2π,∈Z}.
。2)由sin(csx)>0 2π<csx<2π+π(∈Z).又∵-1≤csx≤1,∴0<csx≤1.故所求定義域?yàn)閧x|x∈(2π- ,2π+ ),∈Z}.
評(píng)述:求三角函數(shù)的定義域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是圖象,二是三角函數(shù)線.
【例3】 求函數(shù)=sin6x+cs6x的最小正周期,并求x為何值時(shí),有最大值.
剖析:將原函數(shù)化成=Asin(ωx+ )+B的形式,即可求解.
解:=sin6x+cs6x=(sin2x+cs2x)(sin4x-sin2xcs2x+cs4x)=1-3sin2xcs2x=1- sin22x= cs4x+ .
∴T= .
當(dāng)cs4x=1,即x= (∈Z)時(shí),ax=1.
深化拓展
函數(shù)=tan(ax+θ)(a>0)當(dāng)x從n變化為n+1(n∈Z)時(shí),的值恰好由-∞變?yōu)?∞,則a=_______.
分析:你知道函數(shù)的.周期T嗎?
答案:π
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分)如下圖所示,則ω和 的取值是
A.ω=1, = B.ω=1, =-
C.ω= , = D.ω= , =-
解析:由圖象知,T=4( + )=4π= ,∴ω= .
又當(dāng)x= 時(shí),=1,∴sin( × + )=1,
+ =2π+ ,∈Z,當(dāng)=0時(shí), = .
答案:C
2. f(x)=2cs2x+ sin2x+a(a為實(shí)常數(shù))在區(qū)間[0, ]上的最小值為-4,那么a的值等于
A.4B.-6C.-4D.-3
解析:f(x)=1+cs2x+ sin2x+a
=2sin(2x+ )+a+1.
∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ].
∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.
∴a=-4.
答案:C
3.函數(shù)= 的定義域是_________.
解析:-sin ≥0 sin ≤0 2π-π≤ ≤2π 6π-3π≤x≤6π(∈Z).
答案:6π-3π≤x≤6π(∈Z)
4.函數(shù)=tanx-ctx的最小正周期為____________.
解析:= - =-2ct2x,T= .
答案:
5.求函數(shù)f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.
解:f(x)=
= = (1+sinxcsx)
= sin2x+ ,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π,最大值是 ,最小值是 .
6.已知x∈[ , ],函數(shù)=cs2x-sinx+b+1的最大值為 ,試求其最小值.
解:∵=-2(sinx+ )2+ +b,
又-1≤sinx≤ ,∴當(dāng)sinx=- 時(shí),
ax= +b= b=-1;
當(dāng)sinx= 時(shí),in=- .
培養(yǎng)能力
7.求使 = sin( - )成立的θ的區(qū)間.
解: = sin( - )
= ( sin - cs ) |sin -cs |=sin -cs
sin ≥cs 2π+ ≤ ≤2π+ (∈Z).
因此θ∈[4π+ ,4π+ ](∈Z).
8.已知方程sinx+csx=在0≤x≤π上有兩解,求的取值范圍.
解:原方程sinx+csx= sin(x+ )=,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)1= sin(x+ )與2=的圖象.對(duì)于= sin(x+ ),令x=0,得=1.
∴當(dāng)∈[1, )時(shí),觀察知兩曲線在[0,π]上有兩交點(diǎn),方程有兩解.
評(píng)述:本題是通過函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù),應(yīng)重視這種方法.
探究創(chuàng)新
9.已知函數(shù)f(x)=
。1)畫出f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值;
(2)判斷f(x)是否為周期函數(shù).如果是,求出最小正周期.
解:(1)實(shí)線即為f(x)的圖象.
單調(diào)增區(qū)間為[2π+ ,2π+ ],[2π+ ,2π+2π](∈Z),
單調(diào)減區(qū)間為[2π,2π+ ],[2π+ ,2π+ ](∈Z),
f(x)ax=1,f(x)in=- .
(2)f(x)為周期函數(shù),T=2π.
●思悟小結(jié)
1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)分支,它除了符合函數(shù)的所有關(guān)系和共性外,還有它自身的屬性.
2.求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù),且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.知識(shí)精講由學(xué)生填寫,起到回顧作用.
2.例2、例4作為重點(diǎn)講解,例1、例3誘導(dǎo)即可.
拓展題例
【例1】 已知sinα>sinβ,那么下列命題成立的是
A.若α、β是第一象限角,則csα>csβ
B.若α、β是第二象限角,則tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角,則csα>csβ
D.若α、β是第四象限角,則tanα>tanβ
解析:借助三角函數(shù)線易得結(jié)論.
答案:D
【例2】 函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤ 對(duì)一切x∈R恒成立,求a的取值范圍.
解:f(x)=-sin2x+sinx+a
=-(sinx- )2+a+ .
由1≤f(x)≤
1≤-(sinx- )2+a+ ≤
a-4≤(sinx- )2≤a- .①
由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤
。╯inx- ) = ,(sinx- ) =0.
∴要使①式恒成立,
只需 3≤a≤4.
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