等比數(shù)列的教學(xué)設(shè)計方案
教學(xué)目標(biāo)
1.理解的概念,掌握的通項公式,并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.
。1)正確理解的定義,了解公比的概念,明確一個數(shù)列是的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是,了解等比中項的概念;
(2)正確認(rèn)識使用的表示法,能靈活運(yùn)用通項公式求的首項、公比、項數(shù)及指定的項;
。3)通過通項公式認(rèn)識的性質(zhì),能解決某些實(shí)際問題.
2.通過對的研究,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過對概念的歸納,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣,以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
(1)知識結(jié)構(gòu)
是另一個簡單常見的數(shù)列,研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比,首先歸納出的定義,導(dǎo)出通項公式,進(jìn)而研究圖像,又給出等比中項的概念,最后是通項公式的應(yīng)用.
。2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是的定義和對通項公式的認(rèn)識與應(yīng)用,教學(xué)難點(diǎn) 在于通項公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
、倥c等差數(shù)列一樣,也是特殊的數(shù)列,二者有許多相同的性質(zhì),但也有明顯的區(qū)別,可根據(jù)定義與通項公式得出的特性,這些是教學(xué)的重點(diǎn).
、陔m然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過不完全歸納法,但對學(xué)生來說仍然不熟悉;在推導(dǎo)過程中,需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力;第一項是否成立又須補(bǔ)充說明,所以通項公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).
③對等差數(shù)列、的綜合研究離不開通項公式,因而通項公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).
教學(xué)建議
。1)建議本節(jié)課分兩課時,一節(jié)課為的概念,一節(jié)課為通項公式的應(yīng)用.
。2)概念的引入,可給出幾個具體的例子,由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征,從而得到的定義.也可將幾個等差數(shù)列和幾個混在一起給出,由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類,有一種是按等差、等比來分的,由此對比地概括的定義.
。3)根據(jù)定義讓學(xué)生分析的公比不為0,以及每一項均不為0的特性,加深對概念的理解.
(4)對比等差數(shù)列的表示法,由學(xué)生歸納的各種表示法. 啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識通項公式,由通項公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
。5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn),的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決,教師只需把握課堂的節(jié)奏,作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學(xué)生相互出題,解題,講題,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
教學(xué)設(shè)計示例
課題:的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過教學(xué)使學(xué)生理解的概念,推導(dǎo)并掌握通項公式.
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會類比、歸納的思想,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,實(shí)事求是的精神,及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是的定義的歸納及通項公式的推導(dǎo).
教學(xué)用具
投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學(xué)方法
討論、談話法.
教學(xué)過程
一、提出問題
給出以下幾組數(shù)列,將它們分類,說出分類標(biāo)準(zhǔn).(幻燈片)
、伲2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
、1,1,1,1,1,1,1,…
、243,81,27,9,3,1, , ,…
、31,29,27,25,23,21,19,…
、1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
、0,0,0,0,0,0,0,…
由學(xué)生發(fā)表意見(可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列,也可能分為等差、等比兩類),統(tǒng)一一種分法,其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學(xué)生看不出③的情況也無妨,得出定義后再考察③是否為).
二、講解新課
請學(xué)生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性,教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子,如變形蟲分裂問題.假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲,再假設(shè)開始有一個變形蟲,經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲,經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲,…,一直進(jìn)行下去,記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù) 這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性,這是我們將要研究的另一類數(shù)列——. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
。ò鍟
1.的定義(板書)
根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系,嘗試給下定義.學(xué)生一般回答可能不夠完美,多數(shù)情況下,有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來的.教師寫出的定義,標(biāo)注出重點(diǎn)詞語.
請學(xué)生指出②③④⑥⑦各自的公比,并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是.學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列,教師再追問,還有沒有其他的例子,讓學(xué)生再舉兩例.而后請學(xué)生概括這類數(shù)列的`一般形式,學(xué)生可能說形如 的數(shù)列都滿足既是等差又是,讓學(xué)生討論后得出結(jié)論:當(dāng) 時,數(shù)列 既是等差又是,當(dāng) 時,它只是等差數(shù)列,而不是.教師追問理由,引出對的認(rèn)識:
2.對定義的認(rèn)識(板書)
。1)的首項不為0;
。2)的每一項都不為0,即 ;
問題:一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為的什么條件?
。3)公比不為0.
用數(shù)學(xué)式子表示的定義.
是 ①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議,如寫成 ,可讓學(xué)生研究行不行,好不好;接下來再問,能否改寫為 是 ?為什么不能?
式子 給出了數(shù)列第 項與第 項的數(shù)量關(guān)系,但能否確定一個?(不能)確定一個需要幾個條件?當(dāng)給定了首項及公比后,如何求任意一項的值?所以要研究通項公式.
3.的通項公式(板書)
問題:用 和 表示第 項 .
、俨煌耆珰w納法
②疊乘法,… , ,這個式子相乘得 ,所以 .
。ò鍟1)的通項公式
得出通項公式后,讓學(xué)生思考如何認(rèn)識通項公式.
。ò鍟2)對公式的認(rèn)識
由學(xué)生來說,最后歸結(jié):
、俸瘮(shù)觀點(diǎn);
、诜匠趟枷耄ㄒ蛟诘炔顢(shù)列中已有認(rèn)識,此處再復(fù)習(xí)鞏固而已).
這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問題.方程中有四個量,知三求一,這是公式最簡單的應(yīng)用,請學(xué)生舉例(應(yīng)能編出四類問題).解題格式是什么?(不僅要會解題,還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練)
如果增加一個條件,就多知道了一個量,這是公式的更高層次的應(yīng)用,下節(jié)課再研究.同學(xué)可以試著編幾道題.
1.本節(jié)課研究了的概念,得到了通項公式;
2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比;
3.用方程的思想認(rèn)識通項公式,并加以應(yīng)用.
四、作業(yè) (略)
五、板書設(shè)計
1.等比數(shù)列的定義
2.對定義的認(rèn)識
3.等比數(shù)列的通項公式
。1)公式
。2)對公式的認(rèn)識
探究活動
將一張很大的薄紙對折,對折30次后(如果可能的話)有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米.
參考答案:
30次后,厚度為,這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度.如果紙再薄一些,比如紙厚0.001毫米,對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了.還記得國王的承諾嗎?第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了,后邊的格子中的米就更多了,最后一個格子中的米應(yīng)是 粒,用計算器算一下吧(用對數(shù)算也行).
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