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拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)案例
拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)
1.目標(biāo)和目標(biāo)解析
（１）知識(shí)目標(biāo)：
理解并掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
�。ǎ玻┠芰δ繕�(biāo)：
通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。并進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想
2.教學(xué)問題診斷
坐標(biāo)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過合作交流，探究不同的建系方案，對(duì)比所得方程的異同，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到恰當(dāng)建立坐標(biāo)系的重要性，進(jìn)一步感受坐標(biāo)法的思想。在推導(dǎo)拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，理解焦參數(shù) 的幾何意義；能根據(jù)條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.根據(jù)以上教學(xué)內(nèi)容及要求，擬定教學(xué)重、難點(diǎn)如下
（1）教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）教學(xué)難點(diǎn)：拋物線定義的形成過程及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
3.教學(xué)支持條件分析
新課程大力倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，為的是使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在本節(jié)課中，將通過適當(dāng)?shù)膯栴}情景，在“實(shí)驗(yàn)”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學(xué)生發(fā)展為本，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途經(jīng)，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。最大限度地讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，在主動(dòng)中發(fā)展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創(chuàng)新，并達(dá)成教與學(xué)的互促互動(dòng)、相得益彰的良性循環(huán)的最優(yōu)局面。
教學(xué)方法：?jiǎn)?dǎo)探究式
教學(xué)用具：多媒體課件
4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（1）設(shè)置情景，引發(fā)探究
�、僬n件演示：用幾何畫板設(shè)置一個(gè)直觀性問題情景，已知F是平面上一個(gè)定點(diǎn)， 是平面上不過點(diǎn)F的一條定直線，點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和到定直線 的距離的比是一個(gè)常數(shù)e，改變這兩個(gè)距離大小的關(guān)系（即常數(shù)e的大小），觀察動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。
�、趯W(xué)生觀察 ：兩個(gè)距離大小的變化；并追蹤：動(dòng)點(diǎn)M得到的軌跡形狀。然后記下實(shí)驗(yàn)追蹤結(jié)果。
�、蹖W(xué)生交流：當(dāng)o＜e＜1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M得到的軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時(shí)是雙曲線。
�、芤l(fā)探究：進(jìn)而引發(fā)探究欲望：當(dāng)e=1時(shí)，它又是什么曲線呢？
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教學(xué)需要一定問題情景的支撐，恰當(dāng)?shù)膯栴}情景能
激起學(xué)生的情感體驗(yàn)，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，也有利于學(xué)生良好數(shù)學(xué)觀的形成。因此，在教學(xué)中，應(yīng)力求通過恰當(dāng)問題情景的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)心態(tài)，在具體的情景中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)習(xí)。上述教學(xué)設(shè)計(jì)通過信息技術(shù)設(shè)置一個(gè)直觀性問題情景，激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，這時(shí)學(xué)生自然地產(chǎn)生了探究當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)距離與定直線距離相等（即 ）時(shí)點(diǎn)的軌跡到底是什么的強(qiáng)烈愿望。讓學(xué)生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動(dòng)中，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。
（2）觀察歸納，形成定義
①觀察：當(dāng)e=1時(shí)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足怎樣幾何特征？讓學(xué)生通過獨(dú)立思考和互相討論，并交流看法。針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行引導(dǎo)，把學(xué)生的思維一步步引入發(fā)現(xiàn)規(guī)律的最近區(qū)域，最終使得學(xué)生發(fā)現(xiàn)：曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離相等。
�、跉w納：拋物線的定義
要求學(xué)生用自己的語言描述什么樣的曲線是拋物線。規(guī)范學(xué)生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。
定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 叫做拋物線的準(zhǔn)線。強(qiáng)調(diào)定義的中心句和關(guān)鍵詞（讓學(xué)生自己找出）。并與橢圓、雙曲線的定義進(jìn)行比較。
�、鄯此迹涸趻佄锞�定義中，要注意定點(diǎn)F不在定直線 上。 若定點(diǎn)F在定直線 上，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡又是什么圖形呢？（此時(shí)退化為過F點(diǎn)且與直線 垂直的一條直線）。
�、苄蕾p：讓同學(xué)們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然后教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標(biāo)志性建筑，如中國(guó)的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運(yùn)會(huì)主場(chǎng)館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學(xué)生欣賞審美，陶冶情操，激發(fā)興趣。
設(shè)計(jì)意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學(xué)中處處注重師生之間的互動(dòng)，注重學(xué)生觀察、比較、分析、概括能力的培養(yǎng)，注重反思環(huán)節(jié)的落實(shí)。通過學(xué)生親身實(shí)踐、主動(dòng)思維，讓學(xué)生在實(shí)踐中得到體驗(yàn)，在反思中產(chǎn)生感悟，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考并養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、勇于探索的良好習(xí)慣。通過讓學(xué)生動(dòng)口參與教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生自然觀察的能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力；同時(shí)通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)拋物線的感性認(rèn)識(shí)，而且使學(xué)生受到美的享受，陶冶了情操。
（3）合作交流，導(dǎo)出方程
�、兕惐龋侯惐葯E圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程（用屏幕顯示圖形），讓學(xué)生認(rèn)真捉摸坐標(biāo)系的位置特點(diǎn)，感悟求拋物線的方程應(yīng)建立怎樣的直角坐標(biāo)系最好（力求使其方程形式最簡(jiǎn)單）。也可以幫助學(xué)生回顧初中二次函數(shù)圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡(jiǎn)方程，必須使圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)（可使常數(shù)項(xiàng)為零）；使圖象的對(duì)稱軸為x軸(或y軸)（可使方程中不含y(或x)的一次項(xiàng)）。
②合作：師生合作共同推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
請(qǐng)學(xué)生將自己的感悟畫在紙板上。學(xué)生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學(xué)生的建系方案，一一作出評(píng)價(jià)。
選擇正確的一個(gè)建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。
如推導(dǎo)焦點(diǎn)F在x軸正半軸上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程。
設(shè)焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設(shè)|FN|=p。
請(qǐng)學(xué)生口頭敘述焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線L的方程。
師生共同推導(dǎo)出拋物線方程：y2=2px（p>0）
指出這個(gè)方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它表示焦點(diǎn)F 在x軸正半
軸上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線, 其準(zhǔn)線為
�、鄯此迹航ㄏ捣桨傅暮侠硇�。
在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系。這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。
�、芴骄浚簰佄锞�的標(biāo)準(zhǔn)方程的其它形式
在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選取不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有哪些不同形式？
讓學(xué)生分組求出其它三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，師生協(xié)作，填充拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的分類表格
再反思：拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時(shí)，如何才能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？
設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)過程是師生互相交流、共同參與的過程。數(shù)學(xué)通過交流，才能得以深入發(fā)展，數(shù)學(xué)思想才能變得更加清晰；通過多邊合作，又可以增強(qiáng)學(xué)生的合作能力與群體創(chuàng)造意識(shí)。教學(xué)中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數(shù)學(xué)交流才能得以真正實(shí)施。上述設(shè)計(jì)在探究拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通過師生的對(duì)話交流、密切合作和信息的互動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)合作交流探究的學(xué)習(xí)過程，并自覺地建構(gòu)起拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)系統(tǒng)。
�。�4）練習(xí)反饋，鞏固提高
�、贂�(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程
例1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 , 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（教材例1之（1））。
變式：求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：
�、�； ⑵ ；
感悟：你能說明二次函數(shù) 的圖象為什么是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程？
�、谀芨鶕�(jù)條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 已知拋物線的焦點(diǎn)是F ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程（教材例1之（2）） 。
變式：已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線L的距離為4。根據(jù)下列條件求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（1）若焦點(diǎn)F在y軸正半軸上；
�。�2）若焦點(diǎn)F在y軸上；
�。�3）若焦點(diǎn)F在x軸上；
�。�4）若焦點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上。
�。�5）焦點(diǎn)在直線 上（均由學(xué)生口答）
感悟：
�、偾蠼o定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是：待定系數(shù)法。關(guān)鍵是
定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）
②在認(rèn)識(shí)事物的過程中，我們不僅要善于從一些不同的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)，還要善于從一些相似的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的不同點(diǎn)。
設(shè)計(jì)意圖：以課本例題為本，通過變式訓(xùn)練這一環(huán)節(jié)，既讓學(xué)生鞏固和加深對(duì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，又使學(xué)生在“練”的過程中通過反思、感悟，不斷調(diào)整自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，完成人的經(jīng)驗(yàn)自主建構(gòu)的過程。
�。�5）自我總結(jié)，提煉升華
讓學(xué)生回憶并小結(jié)、提煉本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：
�、賿佄锞�的定義（其本質(zhì)屬性）；
②拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（注意四種形式的異同）；
③求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法：待定系數(shù)法。關(guān)鍵是：定軸向——求p值——寫方程。
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié)，并對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉升華。讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)內(nèi)化知識(shí)的方法與經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)目標(biāo)達(dá)成。
5.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
（1）書面作業(yè)：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）
補(bǔ)充：求經(jīng)過點(diǎn)p（4，-2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（選做）
�。�2）課后探究：
�、� 的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其實(shí)也是拋物線的定形條件。你能說出焦參數(shù) 對(duì)拋物線的開口大小有什么影響嗎？
�、谕瑢W(xué)們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過二次函數(shù)，為什么二次函數(shù) 的圖象是拋物線？
設(shè)計(jì)意圖：為體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念，使不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展，本作業(yè)依一定梯度進(jìn)行設(shè)計(jì)，并拋出兩個(gè)課后探究性問題，既是對(duì)本節(jié)課有關(guān)內(nèi)容的延伸、拓展，回應(yīng)了本節(jié)課內(nèi)容，又是為下繼內(nèi)容作些鋪墊、畜勢(shì)，讓學(xué)生有“意尤未盡”之感。同時(shí)形成開放性學(xué)習(xí)環(huán)境，滿足了不同學(xué)生的需要，體現(xiàn)了個(gè)性化的學(xué)習(xí)，目的是努力使每一位學(xué)生都能得到成功的體驗(yàn)。
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