古典概型的教學(xué)設(shè)計

　　一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3(必修)第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，他的引入避免了大量的重復(fù)試驗，而且得到的是概率精確值，同時古典概型

　　也是后面學(xué)習(xí)條件概率的基礎(chǔ)，起到承前啟后的作用，所以在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。主要內(nèi)容有：

　　1.基本事件的概念及特點：(1)任何兩個基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

　　2.古典概型的特征：(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

　　3.古典概型的概率計算公式

　　，用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率。

　　隨機事件概率的基本算法是通過大量重復(fù)試驗用頻率來估計，而其特殊的類型――古典概型的概率計算，可通過分析結(jié)果來計算。學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。

　　本節(jié)課的重點是理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。

　　二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

　　1.通過“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗”和“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗”了解基本事件的概念和特點

　　2.通過實例，理解古典概型及其概率計算公式。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想。適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例。使得學(xué)生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以初步形成實事求是地科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。

　　3.會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。掌握列舉法，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題。

　　4.會初步應(yīng)用概率計算公式解決簡單的古典概型問題。用有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學(xué)生掌握“理論來源于實踐，并把理論應(yīng)用于實踐”的辨證思想。

　　三.教學(xué)問題診斷分析

　　學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)是，已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件的概率，通過實例，已經(jīng)了解隨機事件的不確定性和頻率的穩(wěn)定性。了解了概率的意義，了解互斥事件及有限個互斥事件概率加法公式。和老教材的區(qū)別在于，學(xué)生是在尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下學(xué)習(xí)概率的。

　　學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于，對古典概型的兩個特征理解不夠深刻，一看到試驗包含的基本事件是有限個就用古典概型的公式求概率，沒有驗證“每個基本事件出現(xiàn)是等可能的”這個條件;另外對基本事件的總數(shù)的計算容易產(chǎn)生重復(fù)或遺漏。

　　本節(jié)課的教學(xué)難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。

　　在解決概率的計算上，教師鼓勵學(xué)生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學(xué)生感受求基本事件個數(shù)的一般方法，讓學(xué)生直觀的感受到對象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時候作到不重不漏，從而化解由于沒有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑。在判斷一個試驗是否是古典概型時，教師可以設(shè)置一些問題讓學(xué)生判斷，加深對兩個特點缺一不可的理解。在例3的教學(xué)中，給出由于忽略等可能的條件而導(dǎo)致的錯誤解法，引起學(xué)生的認知沖突，有利于學(xué)生的掌握知識。

　　四.教學(xué)條件支持

　　為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可，可以借助計算機進行輔助教學(xué)。進行例3教學(xué)時，通過模擬和分析兩種方式中每個基本事件的等可能性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在第二種情況下每個基本事件不是等可能的。

　　五.教學(xué)過程設(shè)計

　　(一)創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

　　問題1：考察兩個試驗：(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗;(2)擲一顆質(zhì)地均勻的骰子的試驗。在這兩個試驗中，可能的結(jié)果分別有哪些?

　　設(shè)計意圖：通過擲硬幣與擲骰子兩個接近于生活的試驗的設(shè)計。先激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察試驗，分析結(jié)果，找出共性。

　　師生活動：學(xué)生思考、討論，教師利用試驗給出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即基本事件。

　　問題2：基本事件有什么特點?

　　師生活動：教師加以引導(dǎo)與啟發(fā)，利用基本事件的關(guān)系發(fā)現(xiàn)基本事件的特點。學(xué)生歸納與總結(jié)，鼓勵學(xué)生用自己的語言表述，從而提高學(xué)生的表達能力與數(shù)學(xué)語言的組織能力

　　問題3：在擲骰子試驗中，隨機試驗“出現(xiàn)偶數(shù)點”可以由哪些基本事件組成?

　　設(shè)計意圖：通過舉例，進一步加深對基本事件的理解，從而為引出古典概型的定義做好鋪墊。

　　問題4：例1.從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的實驗中，有那些基本事件?

　　設(shè)計意圖：為了引出古典概型的概念，設(shè)計了例1。將數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由于沒有學(xué)習(xí)排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數(shù)，不僅能讓學(xué)生直觀的感受到對象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點。

　　師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生列舉時做到不重復(fù)、不遺漏。學(xué)生列舉出基本事件。教師指出畫樹狀圖是列舉法的基本方法

　　(二)通過設(shè)疑，引出概念

　　問題1：你知道擲均勻硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是多少?擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點的概率是多少?例1中出現(xiàn)字母“d”的概率又是多少?

　　設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)已有的知識，已經(jīng)可以獨立得出概率，通過教師的步步追問，引導(dǎo)學(xué)生深層次的考慮問題，看到問題的本質(zhì)，得出概率公式。讓學(xué)生帶著思考問題觀察試驗，使其有目的的去尋找答案，有效的利用課堂時間，達到教學(xué)目標(biāo)。公式的推導(dǎo)是在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生帶著好奇心去觀察數(shù)學(xué)模型。

　　師生活動：學(xué)生較容易得出上述問題的概率。

　　教師追問：這些概率你是怎么得出的?

　　學(xué)生：(1)從實驗來的;(2)從可能性角度分析得到的。

　　對于擲骰子試驗，出現(xiàn)各個點的可能性相同，

　　記出現(xiàn)1點，2點，…，6點的事件分別為A1，A2，…，A6 ，記“出現(xiàn)偶數(shù)點”為B，則P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，

　　又P(A1)+P(A2)+…=P(A6)=P(必然事件)=1

　　所以：P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=

　　教師追問：出現(xiàn)偶數(shù)點的概率為什么是

　　?

　　師生：記“出現(xiàn)偶數(shù)點”為事件B，利用概率的加法公式有

　　P(B)=P(A2)+P(A4)+P(A6)=

　　=

　　推導(dǎo)出概率公式：

　　問題2：上述概率公式的推導(dǎo)過程中基本事件有什么特點?

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)運用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點分析問題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。啟發(fā)誘導(dǎo)的同時，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力。通過問題的解決引出古典概型的概念。

　　師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生找出共性。具有下列兩個特點的概率模型才能運用上述公式，我們稱為古典概率模型，簡稱古典概型。

　　(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(有限性)

　　(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)

　　問題3：(1)向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么?

　　(2)某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)。你認為這是古典概型嗎?為什么?

　　設(shè)計意圖：兩個問題的設(shè)計是為了讓學(xué)生更加準(zhǔn)確的把握古典概型的兩個特點。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學(xué)難點。

　　師生活動：學(xué)生互相交流，回答補充，教師歸納。(1)不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的;(2)不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。

　　(三)例題分析，加深理解

　　問題1：例2.單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考察內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案。假設(shè)考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少?

　　設(shè)計意圖：這節(jié)課的難點就是古典概型的判斷，對例2 的分析是突破難點的契機，引導(dǎo)學(xué)生分析例2是否滿足古典概型的兩個基本特征有限性與等可能性，由此掌握求此類題目的方法，讓學(xué)生進一步理解古典概型的概率計算公式，體驗概率與實際生活是息息相關(guān)的。

　　師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考是否滿足古典概型的特征?學(xué)生思考、討論、交流，說出看法，教師對學(xué)生的回答進行歸納與總結(jié)。

　　解決這個問題的關(guān)鍵，即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可以化為古典概型。

　　學(xué)生根據(jù)已學(xué)知識回答：

　　問題2：在標(biāo)準(zhǔn)化的考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A、B、C、D四個選項中選擇所有正確答案，同學(xué)們有一種感覺，如果不知道正確答案多選題更難猜對，這是為什么?

　　設(shè)計意圖：上述問題的設(shè)計，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型的.生活化，能用所學(xué)知識解決新問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主旨。當(dāng)學(xué)生用自己的知識解決問題后，會有極大的成就感，提高了學(xué)習(xí)興趣，體驗了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦。

　　師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生列舉15種可能出現(xiàn)的答案，判斷是否滿足古典概型的特征，利用概率公式求值。

　　問題3：例3. 同時擲兩個骰子，計算：

　　(1)一共有多少種不同的結(jié)果?

　　(2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?

　　(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少?

　　設(shè)計意圖：這節(jié)課是在沒有學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)如何求概率，所以在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)古典概型的特征，用列舉法解決概率問題。深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機事件所含基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率。培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度。

　　通過觀察對比，發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果不同的根本原因是——研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學(xué)重點，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，逐漸養(yǎng)成自主探究能力。

　　師生活動：

　　(1)教師給出問題，學(xué)生思考求解。

　　(2)教師將學(xué)生的結(jié)果匯總展示，學(xué)生給出的答案可能會有兩種，然后引導(dǎo)學(xué)生分析原因，尋找解答中存在的問題。其中這兩種答案分別對應(yīng)了解題中的兩種處理方法：把骰子標(biāo)號進行解題和不標(biāo)號進行解題，可以提示學(xué)生先把這兩種方法下的基本事件全部列出來，然后驗證是否為古典概型。

　　(3)學(xué)生思考、討論，列出兩種方法下的基本事件，發(fā)現(xiàn)基本事件的總數(shù)不相等。

　　(4)教師通過模擬和分析兩種方式中每個基本事件的等可能性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在第二種情況下每個基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型計算公式。

　　(5)師生共同總結(jié)解題步驟：

　　① 列舉基本事件(驗證基本事件是否有限，所有基本事件出現(xiàn)是否等可能);

　�、� 列舉目標(biāo)事件所包含的基本事件;

　　③ 利用公式進行計算。

　　問題4：把例3和例1作比較，你能找出它們的聯(lián)系和區(qū)別嗎?

　　設(shè)計意圖：通過比較，培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度觀察問題的能力，辯證地看待問題，加深對古典概型的理解。

　　師生活動：學(xué)生觀察、比較、交流，教師總結(jié)：

　　例3中列舉基本事件時考試是有序的、數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)的，而例1是無序的、字母不可能重復(fù)出現(xiàn)的。例1也可以從有序的角度考慮：如我們也可以把所有的基本事件列為：(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)

　　(四)循序漸進，例題延伸

　　問題1：假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2…，9十個數(shù)字中的任意一個。假設(shè)一個人完全忘記了密碼，問他到自動提款機上隨機式一次密碼就能取到錢的概率是多少?

　　設(shè)計意圖：選用具有現(xiàn)實意義的例題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

　　師生活動：教師要引導(dǎo)學(xué)生注意題目的前提是“完全忘記了自己的儲蓄卡密碼”，在這種前提下才是古典概型問題，才能用古典概型公式解決問題。

　　學(xué)生思考、討論、交流，在教師的指導(dǎo)下各自解題。

　　教師對學(xué)生的結(jié)果進行評價和完善，同時讓學(xué)生理解為什么自動取款機不能無限制地讓用戶試密碼，用身份證上的號碼作密碼不安全等現(xiàn)象。

　　問題2：某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員隨機抽出2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大?

　　設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進一步培養(yǎng)學(xué)生解題能力。

　　師生活動：學(xué)生獨立練習(xí)，必要時可以討論。教師個別指導(dǎo)。題目中關(guān)鍵是基本事件的表示方法，教師可給出相應(yīng)的引導(dǎo)與提示。

　　(五)變式練習(xí)，鞏固提高

　　問題1：一次投擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率。

　　設(shè)計意圖：為了體現(xiàn)了知識的遞近與螺旋式上升。在教材安排練習(xí)的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一題多解的變式練習(xí)，有三種解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的多變性和靈活性。更為重要的是萬變不離其中，只有掌握了古典概型的特征，才能體會這道題的意境。

　　師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度解決問題。

　　學(xué)生用列舉法給出解法1：設(shè)A表示“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”，用(i,j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點，第二顆骰子出現(xiàn)j點”，i= 1,2,3,4,5,6。顯然出現(xiàn)的36個基本事件組成等概樣本空間，其中A包含的基本事件個數(shù)為18個，故

　　教師給出解法2：若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，則它們也組成等概樣本空間�；�本事件總數(shù)為4，A包含的基本事件個數(shù) 為2。

　　學(xué)生找出解法3：若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：{點數(shù)和為奇數(shù)}，{點數(shù)和為偶數(shù)}，也組成等概樣本空間，基本事件總數(shù)為2，A所含基本事件數(shù)為1。

　　(六)總結(jié)概括，自我評價

　　問題1：這節(jié)課你有什么收獲?學(xué)到了哪些知識和方法?

　　設(shè)計意圖：使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認識，并把學(xué)過的相關(guān)知識有機地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用，也進一步升華了這節(jié)課所要表達的本質(zhì)思想，讓學(xué)生的認知更上一層。

　　師生活動：學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補充說明。

　　1.我們將具有

　　(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(有限性)

　　(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)

　　這樣兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。

　　2.古典概型計算任何事件的概率計算公式

　　。

　　3.求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和實驗中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，應(yīng)做到不重不漏。

　　六.目標(biāo)檢測設(shè)計

　　第1題：在夏令營的7名成員中，有3名同學(xué)已去過北京。從這7名同學(xué)中任選2名同學(xué)，選出的這2名同學(xué)恰是已去過北京的概率是多少?

　　設(shè)計意圖：首先判斷是否古典概型，然后用列舉法列出基本事件的總數(shù)及隨機事件所含基本事件的個數(shù)，利用公式計算概率。

　　第2題：下面有三個游戲規(guī)則，袋子中分別裝有球，從袋中無放回地取球，分別計算甲獲勝的概率，哪個游戲是公平的?

　　設(shè)計意圖：通過這些學(xué)生熟悉的、有趣的隨機環(huán)境，比較容易使學(xué)生把學(xué)的新知識與自己原有的經(jīng)驗和直覺聯(lián)系起來。

　　第3題：某城市的電話號碼是8位數(shù)，如果從電話號碼中任指一個電話號碼，求：

　　(1) 頭兩位數(shù)碼都是8的概率;

　　(2) 頭兩位數(shù)碼至少有一個不超過8的概率;

　　(3) 頭兩位數(shù)碼不相同的概率。

　　設(shè)計意圖：從實際問題出發(fā)，結(jié)合古典概型和概率的性質(zhì)，先計算事件的對立事件發(fā)生的概率，加強前后知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的對知識的綜合運用能力。

　　七.教學(xué)設(shè)計說明：

　　1.根據(jù)本節(jié)課的特點，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學(xué)過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的主體能動性，讓每一個學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動中來。

　　2.學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實事求是的科學(xué)態(tài)度，增強了鍥而不舍的求學(xué)精神。

　　3.以問題為紐帶，化結(jié)果為過程的教學(xué)理念始終貫穿了整個教學(xué)過程，因為我們不僅希望學(xué)生掌握知識，更希望學(xué)生掌握分析知識、選擇知識、更新知識的能力。簡單的說智慧比知識更重要，知識是啟發(fā)智慧的手段，過程是結(jié)果的動態(tài)延伸，教學(xué)中能夠把結(jié)果變成過程，才能把知識變成智慧!

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