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導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的論文

時(shí)間:2023-04-01 04:21:40 論文 我要投稿
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關(guān)于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的論文

  【摘 要】新課程利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線,判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值和最值。導(dǎo)數(shù)是分析和解決問(wèn)題的有效工具。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用的論文

  【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的切線 單調(diào)性 極值和最值

  導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng))是一個(gè)特殊函數(shù),它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容,隨著課改的不斷深入,導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng),而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體,函數(shù)問(wèn)題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體,通過(guò)研究其圖像性質(zhì),來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個(gè)初步探究。

  有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類(lèi)型有:求函數(shù)的切線,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值和最值,利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式,這些類(lèi)型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn),是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一,預(yù)計(jì)也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)。

  一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線 分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

  解:y′ = 3x2-6x , 當(dāng)x=1時(shí)y′= - 3,即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 = -3(x-1),即為:y = -3x.

  1、方法提升:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0, y=f(x0))處的切線的斜率。既就是說(shuō),曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0, y=f(x0))處的切線的斜率是f′(x0) ,相應(yīng)的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。

  二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

  例2.求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。

  分析:求出導(dǎo)數(shù)y′,令y′>0或y′<0,解出x的取值范圍即可。

  解:y′= 3x2-6x,由y′>0得3x2-6x﹥0,解得x﹤0或x﹥2。

  由y′<0 得3x2-6x﹤0,解得0﹤x<2。

  故 所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)∪(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為 (0 ,2 )。

  三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

  例3.求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值

  解:由 f′(x)=x2-4=0,解得x=2或x=-2.

  當(dāng)x變化時(shí),y′、y的變化情況如下:

  當(dāng)x=-2時(shí),y有極大值f(-2)=-(28/3),當(dāng)x=2時(shí),y有極小值f(2)=-(4/3).

  四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

  五、證明不等式

  5、方法提升:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。

  總之,導(dǎo)數(shù)作為一種工具,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便,尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值以及切線問(wèn)題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中,要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解,重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,達(dá)到優(yōu)化解題思維,簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的,更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具,進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。

  參考資料:

  1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(北京師范大學(xué)出版社)

  2、高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考

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