極限理論教學(xué)中學(xué)生辯證思維的培養(yǎng)論文
1引言
極限不是數(shù)學(xué)分析課程的核心研究對象，但是它屬于數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)性質(zhì)的奠基工程，換句話，它是數(shù)學(xué)分析課程的理論基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)分析中處于十分重要的地位，正如國外學(xué)者所言“極限是正確理解微積分和發(fā)展數(shù)學(xué)思維的最基本的數(shù)學(xué)概念之一.”因此，正確理解極限的概念并學(xué)會用極限理論分析、解決相關(guān)問題就顯得尤為重要.徐利治先生在課堂上引入極限概念時(shí)，常用李白的《送孟浩然之廣陵》詩“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州，孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流.”讓學(xué)生體會一個(gè)變量(孤帆)趨向于零(碧空盡)的動態(tài)意境.但是，如何才能讓學(xué)生準(zhǔn)確理解極限定義的真諦，實(shí)踐證明，只靠形象思維是不夠的，還需要在極限教學(xué)中引入辯證思維方式，才能深入探索抽象的極限概念及相關(guān)理論.
辯證思維強(qiáng)調(diào)辨析、證明，強(qiáng)調(diào)根據(jù)客觀事物自身的辯證本質(zhì)進(jìn)行思維與分析，認(rèn)為人們可以通過概念、判斷、推理等思維形式對客觀事物辯證發(fā)展的過程做出正確地反映，實(shí)際也就是對客觀事物辯證法的反映.辯證思維最基本的特點(diǎn)是將研究對象作為一個(gè)整體，從其內(nèi)在矛盾的運(yùn)動、變化及各個(gè)方面的相互聯(lián)系中進(jìn)行考察，以便從本質(zhì)上系統(tǒng)地、完整地認(rèn)識其對象.人類思維的發(fā)展，一般都是由形象思維到抽象思維，再由抽象思維到辯證思維.可見，辯證思維是最高形式的思維運(yùn)動，辯證思維方法是最高層次的科學(xué)方法.客觀上，辯證思維就是在辯證唯物主義基礎(chǔ)上，吸收了現(xiàn)代自然科學(xué)、社會科學(xué)研究方法的積極成果而形成的一種當(dāng)代最科學(xué)的思維方式.研究并掌握這種思維方式，進(jìn)而學(xué)會自覺地運(yùn)用這種思維方式分析解決問題，對指導(dǎo)人們的實(shí)踐活動具有十分重要的意義.數(shù)學(xué)分析課程基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)與運(yùn)用也不例外.
之所以辯證思維對人們有如此大的作用，就在于辯證思維是用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)看世界，它從不同角度揭示了自然、社會和人類思維發(fā)展的一般規(guī)律.數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生和發(fā)展正符合辯證法闡述的事物發(fā)展的一般規(guī)律.恩格斯在《自然辯證法》中說:“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了.”由此，可得出辨證思維是微積分理論的一大支柱，與極限理論二者是緊密相連的，辯證法為極限理論的研究提供了良好的世界觀與方法論，對學(xué)生世界觀的形成和方法論意識的建立有著非常重要的意義.
2學(xué)生在極限理論學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生誤解的現(xiàn)狀及歸因
學(xué)生對極限概念的理解學(xué)習(xí)一直是數(shù)學(xué)分析教學(xué)的一個(gè)重要難題，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生對極限概念的理解首先容易產(chǎn)生誤解，進(jìn)而影響到后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí).具體來說，不僅影響對極限概念本身的理解，而且也影響對函數(shù)連續(xù)、可微以及無窮級數(shù)等的理解.因此，筆者結(jié)合自己極限理論教學(xué)實(shí)踐中對辯證思維的應(yīng)用，對極限定義進(jìn)行剖析，力求抽絲剝繭，層層推進(jìn)，讓學(xué)生明白極限定義的抽象性，同時(shí)對極限理論中所隱含的辯證思維加以總結(jié)分析，旨在提高數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)的效率.
2.1學(xué)生在極限內(nèi)容學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生誤解的現(xiàn)狀
數(shù)學(xué)分析具有高度的抽象性和邏輯性，并且數(shù)學(xué)分析的教學(xué)注重理論的完整性、知識的系統(tǒng)性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，這樣長期以來的學(xué)習(xí)環(huán)境，使得一些學(xué)生態(tài)度上往往產(chǎn)生畏難情緒，主要表現(xiàn)在以下方面.
2.1.1學(xué)習(xí)極限內(nèi)容的思維方法傳統(tǒng)
有較多的學(xué)生從思想上認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是靠教師教好，教師教得好，學(xué)生才能學(xué)得好，因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的參與精神欠缺，這種情況多發(fā)生在一些剛?cè)氪髮W(xué)的新生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)，遭遇的第一難關(guān)就是極限的概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)總是感到云里霧里，不知所以然，特別是學(xué)生對極限的“ε-N”定義中的任意給定的ε的任意性與給定性迷惑不解，正是由于對極限概念的無法理解，造成了用概念證明數(shù)列的斂散性及收斂數(shù)列性質(zhì)的障礙.
2.1.2學(xué)習(xí)極限內(nèi)容的態(tài)度被動
學(xué)習(xí)極限內(nèi)容的態(tài)度被動表現(xiàn)在，課堂上常常習(xí)慣于教師講，學(xué)生聽，缺乏主動學(xué)習(xí)的積極性.感到極限內(nèi)容難學(xué)、乏味.加之客觀上有較多學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力較差，學(xué)習(xí)積極性不夠，自學(xué)鉆研精神不強(qiáng)等，各方面原因使得學(xué)生對這門課程產(chǎn)生了恐懼心理，具體來說，學(xué)生學(xué)習(xí)中碰到的第二個(gè)突出的難題，即是分不清潛無限與有限的區(qū)別，常常把潛無限看成有限，因此在計(jì)算此類問題的極限時(shí)，錯(cuò)誤不斷.
2.1.3分析、解決數(shù)學(xué)極限問題的能力甚差
由于以上問題的存在，使得一些學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)被動，對極限概念的不理解也造成后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等概念時(shí)的極大困擾.長期問題累積，不求甚解，常常滿足于完成必須做的作業(yè)，很少就這個(gè)方面的相關(guān)問題展開討論、爭論等，從而導(dǎo)致分析、解決數(shù)學(xué)極限問題的能力甚差.以至于在考試中此類問題的出錯(cuò)率過高.
2.2學(xué)生在極限內(nèi)容學(xué)習(xí)中形成誤解的歸因
2.2.1過時(shí)的思維方法的影響
過時(shí)的、傳統(tǒng)的思維方法與學(xué)習(xí)方法的影響，這是導(dǎo)致問題出現(xiàn)最主要的一個(gè)原因.十多年中小學(xué)教學(xué)雖然經(jīng)過教育改革，整體上變化很大，但是傳統(tǒng)的教師教，學(xué)生學(xué)單向信息傳遞的教學(xué)方法仍然存在.至今一些數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)，有的教師仍然采用的是靜止的、固定的觀點(diǎn)來分析研究問題，必然對學(xué)生造成一定程度的消極影響.進(jìn)入大學(xué)后各方面的適應(yīng)需要一個(gè)過程，加之?dāng)?shù)學(xué)分析課研究的是變量數(shù)學(xué)，采用的是運(yùn)動的、變化的觀點(diǎn)來研究問題，由于學(xué)生在中小學(xué)所形成的學(xué)習(xí)思維方法是直觀的、靜止的，因而在大學(xué)開始接觸數(shù)學(xué)分析這類變化的新的知識體系時(shí)，就顯得慌亂不堪，茫然無措.
2.2.2未形成科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度
科學(xué)的態(tài)度是科學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，形成科學(xué)的態(tài)度，對于學(xué)生熱愛科學(xué)、積極投入科學(xué)學(xué)習(xí)過程發(fā)揮著很大的動力作用.剛?cè)氪髮W(xué)的新學(xué)生在知識結(jié)構(gòu)方面有著重大缺陷，主要表現(xiàn)在中學(xué)生缺少辯證思維的系統(tǒng)知識，相對缺少對邏輯系統(tǒng)知識的掌握，同時(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)很少涉及數(shù)學(xué)史知識，這樣就讓學(xué)生理解極限概念有了諸多不便和障礙.
2.2.3正確的學(xué)習(xí)動機(jī)未能及時(shí)強(qiáng)化
學(xué)習(xí)動機(jī)是推動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部動力.大一新學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力方面存在一定差距，有待提高和升華.主要表現(xiàn)在新學(xué)生在直觀和形象思維能力上表現(xiàn)出優(yōu)勢，比如對幾何意義的理解就很充分.但是，對抽象概念的理解和思維能力就相對欠缺，比如對極限概念的理解.諸多缺陷，需要數(shù)學(xué)分析教師想辦法在新的教學(xué)過程中，有意識、有步驟、有計(jì)劃地幫助學(xué)生完成思維方法的轉(zhuǎn)變，提高學(xué)生的思維能力，擴(kuò)大和完善學(xué)生的知識面，促進(jìn)新學(xué)生數(shù)學(xué)辯證思維的形成.
3培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會辯證思維的極限理論教學(xué)新策略
以上問題的存在，如不及時(shí)予以解決，任其長期發(fā)展，必然直接影響學(xué)生其它一些專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，甚至帶來其它方面意想不到的消極影響.只有客觀面對現(xiàn)實(shí)，在分析原因的'基礎(chǔ)上，針對性采取積極的糾正措施，師生團(tuán)結(jié)一致，現(xiàn)存的問題才會逐漸得以消解，也才能把提高教育教學(xué)質(zhì)量放在可靠的基礎(chǔ)上.為此，我們要?jiǎng)?chuàng)造條件，堅(jiān)持以學(xué)生為主體，師生互動，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會辯證思維上狠下功夫，結(jié)合數(shù)學(xué)極限理論教學(xué)的實(shí)際，具體提出以下積極的教學(xué)策略.
3.1建立極限概念內(nèi)部及與其它知識的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力
辯證思維最重要的就是建立起來事物都是普遍聯(lián)系的觀念.普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)廣泛地存在于數(shù)學(xué)分析理論中，微積分的概念是建立在極限概念的基礎(chǔ)上.即導(dǎo)數(shù)與積分的概念都是由極限的定義來定義的，級數(shù)是部分和數(shù)列的極限問題，歸結(jié)原則把離散問題與連續(xù)問題聯(lián)系起來，考慮在求極限時(shí)把離散的問題利用歸結(jié)原則變?yōu)檫B續(xù)問題利用羅比達(dá)法則來解決.定積分的定義也為求數(shù)列的極限提供了有效的方法，建立了離散問題與連續(xù)問題的關(guān)聯(lián).甚至當(dāng)把兩種表面上看似無關(guān)的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來時(shí)，會產(chǎn)生奇跡.例如，狄利克雷函數(shù)為非初等函數(shù)，開始以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)，學(xué)了極限理論后，利用累次極限這個(gè)工具把沒有任何關(guān)系的非初等函數(shù)與余弦函數(shù)聯(lián)系起來，既豐富了非初等函數(shù)的表達(dá)形式，又讓狄利克雷函數(shù)以新的面貌出現(xiàn)，為進(jìn)一步研究狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).再如，數(shù)列極限″ε-N″定義利用不等式工具把n→∞與an→a刻畫的既準(zhǔn)確又簡明，在定義中用ε來刻畫數(shù)列{an}接近與a的程度，通過|an-a|<ε不等式把它們聯(lián)系在一起，用n來刻畫n趨于∞的程度，通過n>N來體現(xiàn)，N依賴于ε但不由ε唯一確定，有時(shí)表示為N(ε)，它們相互制約，相互聯(lián)系在一起.這些正是辯證思維聯(lián)系理論在極限定義中的滲透，使得極限定義成為一個(gè)不可分離的有機(jī)整體.正如德國數(shù)學(xué)家希爾伯特所說:“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分的不可分離的結(jié)合”.可見，建立極限概念內(nèi)部及與其它知識的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力很重要.教師應(yīng)該創(chuàng)造條件，將教知識與學(xué)習(xí)方法有機(jī)地結(jié)合起來.
3.2揭示極限概念中對立統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的能力
對立統(tǒng)一規(guī)律揭示了事物發(fā)展的源泉和動力，矛盾對立面的同一和斗爭推動著事物的發(fā)展.極限概念中含有互相矛盾的雙方，它們既對立又統(tǒng)一構(gòu)成這種理論存在和發(fā)展的前提.無限與有限是一對矛盾，無限不能脫離有限而存在，沒有有限也就沒有無限，因此定量地描述無限，總借助一系列無限多個(gè)定數(shù)來完成.在limn→∞an=a的定義中，透過形式看實(shí)質(zhì)不難看出，凡變量極限過程，都是具有潛無限與實(shí)無限雙重性質(zhì)的變量趨向極限的過程.極限過程的體現(xiàn)是通過數(shù)學(xué)表達(dá)式對于ε>0，鯪∈N+，當(dāng)n>N時(shí)有|an-a|<ε來刻畫的.從表達(dá)式來看任意(ε)與存在()是一對矛盾，從整個(gè)過程來說正數(shù)ε是任意變化的變量，但從過程的每個(gè)瞬間來說正數(shù)ε是固定的常量，從局部與整體的關(guān)系來看，它們的對立既體現(xiàn)在局部的有限性與整體的無限性，又體現(xiàn)在過程的動態(tài)性與瞬間的靜態(tài)性，正是正數(shù)ε的雙重性把極限概念中的兩個(gè)無限刻畫的淋漓盡致，這就使人們可以用不等式的方法解決極限的存在問題，并使抽象的極限問題符號化，正是“有限”與“無限”的對立統(tǒng)一構(gòu)成了極限概念存在和發(fā)展的基礎(chǔ).我們還注意到，在極限理論中，無窮小量是一種特殊的變量，它在變化過程中不等于零(只考慮除“0”外的一般無窮小量)，但它的變化趨勢卻是零，或者可以說，它在變化的過程中不等于零，但作為變化的結(jié)果，它卻等于零.這個(gè)性質(zhì)具體而且生動地說明了無窮小量具有零與非零的辨證性質(zhì).由此，在教學(xué)中逐步樹立起學(xué)生的對立統(tǒng)一觀念，形成辯證思維的內(nèi)核.
3.3探索極限理論中的量變質(zhì)變，培養(yǎng)學(xué)生的復(fù)合思維能力
恩格斯指出:“純粹的量的分割是有一個(gè)極限的，到了這個(gè)極限它就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的差別了.”量變質(zhì)變規(guī)律指出了量變、質(zhì)變是事物運(yùn)動變化的兩種最基本狀態(tài)，事物的發(fā)展變化都表現(xiàn)為由量變到質(zhì)變，再由質(zhì)變引起新的量變的反復(fù)過程.極限理論中體現(xiàn)著量變質(zhì)變規(guī)律.一方面，極限中概念的存在都有著特定的量的界限，如果量變超出了這個(gè)界限，就會發(fā)生質(zhì)變，形成另一種概念，這種新概念又存在著自己特有的新的量變.非常著名的Wallis公式十分明顯地體現(xiàn)量變質(zhì)變規(guī)律.從等式來看，數(shù)列中的每一項(xiàng)都為有理數(shù)，隨著量由有限到無限的轉(zhuǎn)變，性質(zhì)卻發(fā)生了質(zhì)的變化，即極限值卻為無理數(shù)，同時(shí)也建立了整數(shù)n與無理數(shù)π之間的一種不尋常的關(guān)系.
通過這個(gè)事例告訴我們，數(shù)學(xué)極限理論知識雖然抽象，但是教師的教學(xué)方法很重要.如何讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不太好的學(xué)生既學(xué)到數(shù)學(xué)極限知識，又逐漸學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)極限知識.面對這個(gè)難題，要求教師善于把抽象、繁瑣的理論知識直觀化、簡單化、明白化，形象化，便于讓學(xué)生接受.
3.4研討極限理論中否定之否定，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的能力
否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過程是:經(jīng)歷兩次否定、三個(gè)階段，即由肯定達(dá)到對自身的否定，并再由否定進(jìn)到新的肯定——否定之否定.每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展都符合否定之否定規(guī)律.在理論最初形成時(shí)，該理論得到肯定;隨著實(shí)踐的需要和研究的深入，該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定;進(jìn)而數(shù)學(xué)家們開始研究如何使該理論更完善、更精確，最終得出新的結(jié)論，達(dá)到新的肯定.文獻(xiàn)指出:“每一種事物都有它的特殊的否定形式，經(jīng)過這樣的否定，它同時(shí)就獲得發(fā)展，每一種觀念和概念都是如此.”無窮小理論的發(fā)展體現(xiàn)了否定之否定的辯證思維規(guī)律，牛頓、萊布尼茲在創(chuàng)建微積分理論的基礎(chǔ)是無窮小量，無窮小量一開始不即是零(因可用無窮小量除)卻又等于零(忽略不計(jì))，這樣把無窮小量“召之即來，揮之即去”的做法，在十八世紀(jì)引起了爭論，對于無窮小量所帶來的數(shù)學(xué)本身非邏輯非嚴(yán)謹(jǐn)性的問題，那些曾具體從事微積分研究的數(shù)學(xué)家們早就有過這樣或那樣的思考，在他們之間并展開過激烈的討論和爭論，稱它是“逝去的靈魂”，無窮小量忽略不計(jì)是暴力鎮(zhèn)壓等.雖然它們不是用任何一種數(shù)學(xué)方法或邏輯方法推導(dǎo)出來的、不夠完備，但它們卻有強(qiáng)大的生命力.正如馬克思所評論的“這是人間純粹實(shí)驗(yàn)地發(fā)現(xiàn)的.”這種不能自圓其說的無窮小量，遭到了十八世紀(jì)中期的英國大主教貝克萊初步的否定，進(jìn)而建立了極限理論，用潛無窮小量取代了實(shí)無窮小量，實(shí)無窮小量遭到了徹底的否定.然而極限理論雖然使微積分的表述嚴(yán)格化了，但是仍存在缺陷，即不具備實(shí)無窮小量的簡易性和生動性，又僅僅是個(gè)驗(yàn)證方法，因而又出現(xiàn)了對潛無窮小量的否定，也就是對實(shí)無限小量否定的否定.一九六零年，美國耶魯大學(xué)數(shù)理邏輯學(xué)家A.Robinson運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)理邏輯的方法和新成果，第一次成功地證明了實(shí)無窮小量的存在性，從而使牛頓、萊布尼茲時(shí)代的無窮小量重返數(shù)壇，從哲學(xué)的角度看無窮小量獲得了新生，經(jīng)過否定之否定后的實(shí)無窮小量發(fā)展了，提高了，完善了.由此帶來學(xué)生知識面的擴(kuò)充，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣，進(jìn)而完成學(xué)生思維能力的轉(zhuǎn)變和提升.
綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識和能力，更重要的是教給學(xué)生數(shù)學(xué)思維與方法，特別是辯證的思維及方法，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.結(jié)合數(shù)學(xué)極限理論的教學(xué)來說，只有將辯證思維方法的分析過程滲透于具體數(shù)學(xué)知識、技能的教學(xué)之中去，才能使學(xué)生真正看到辯證思維的魅力，并使學(xué)生真正地理解、掌握極限知識的內(nèi)涵，并將其思想加以推廣到所有微積分的知識學(xué)習(xí)中去.只要教師在極限理論教學(xué)中有意識、有步驟地貫穿辯證思維，堅(jiān)持教學(xué)互動，堅(jiān)持以學(xué)生為中心，就會促進(jìn)學(xué)生發(fā)展.例如對新學(xué)生學(xué)習(xí)極限理論，首先幫助他們形成新的觀念，養(yǎng)成新的思維習(xí)慣很重要.進(jìn)而有計(jì)劃地完善他們的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，提高思維能力，提高分析、解決實(shí)際問題的能力將有著非常重大的意義和積極作用.這也使得我們從中進(jìn)一步認(rèn)識到了哲學(xué)與數(shù)學(xué)的辨證關(guān)系，教師可以通過教學(xué)深化馬克思主義的科學(xué)的思維方法，把數(shù)學(xué)分析課“講活”、“講透”、“講深”，讓學(xué)生們能夠“聽懂”、“學(xué)會”、“成長”，在課堂上能享受到辯證思維帶來的樂趣，最終達(dá)到提高教學(xué)效率的目的，高質(zhì)量完成教書育人的終極任務(wù)。
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