高中數(shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測(cè)試題
第3章函數(shù)的應(yīng)用綜合檢測(cè)試題(含解析新人教A版必修1)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?荚嚂r(shí)間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.(2013~2014學(xué)年度河北孟村回民中學(xué)月考試題)若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且同時(shí)滿足f(a)f(b)<0,f(a)f(a+b2)>0.則()
A.f(x)在[a,a+b2]上有零點(diǎn) B.f(x)在[a+b2,b]上有零點(diǎn)
C.f(x)在[a,a+b2]上無零點(diǎn) D.f(x)在[a+b2,b]上無零點(diǎn)
[答案] B
[解析] 由已知,易得f(b)f(a+b2)<0,因此f(x)在[a+b2,b]上一定有零點(diǎn),但在其他區(qū)間上可能有零點(diǎn),也可能沒有零點(diǎn).
2.函數(shù)y=1+1x的零點(diǎn)是()
A.(-1,0) B.x=-1
C.x=1 D.x=0
[答案] B
3.下列函數(shù)中,增長速度最快的是()
A.y=20x B.y=x20
C.y=log20x D.y=20x
[答案] D
4.已知函數(shù)f(x)=2x-b的零點(diǎn)為x0,且x0(-1,1),那么b的取值范圍是()
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(-12,12) D.(-1,0)
[答案] A
[解析] f(x)=2x-b=0,得x0=b2,
所以b2(-1,1),所以b(-2,2).
5.函數(shù)f(x)=ax+b的零點(diǎn)是-1(a0),則函數(shù)g(x)=ax2+bx的零點(diǎn)是()
A.-1 B.0
C.-1和0 D.1和0
[答案] C
[解析] 由條件知f(-1)=0,b=a,g(x)=ax2+bx=ax(x+1)的零點(diǎn)為0和-1.
6.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
由此可以判斷方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根所在的區(qū)間是()
A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2) D.(-,-3)和(4,+)
[答案] A
[解析] ∵f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,
f(-3)f(-1)<0.
∵f(2)=-4<0,f(4)=6>0,
f(2)f(4)<0.方程ax2+bx+c=0的兩根所在的區(qū)間分別是(-3,-1)和(2,4).
7.用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的唯一實(shí)數(shù)解x0時(shí),經(jīng)計(jì)算得f(1)=3,f(2)=-5,f(32)=9,則下列結(jié)論正確的是()
A.x0(1,32) B.x0=-32
C.x0(32,2) D.x0=1
[答案] C
[解析] 由于f(2)f(32)<0,則x0(32,2).
8.在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中,應(yīng)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
則x,y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近?(其中a,b為待定系數(shù))()
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=ax2+b D.y=a+bx
[答案] B
[解析] 代入數(shù)據(jù)檢驗(yàn),注意函數(shù)值.
9.設(shè)a,b,k是實(shí)數(shù),二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b滿足:f(k-1)與f(k)異號(hào),f(k+1)與f(k)異號(hào).在以下關(guān)于f(x)的零點(diǎn)的說法中,正確的是()
A.該二次函數(shù)的零點(diǎn)都小于k
B.該二次函數(shù)的零點(diǎn)都大于k
C.該二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間差一定大于2
D.該二次函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)
[答案] D
[解析] 由題意得f(k-1)f(k)<0,f(k)f(k+1)<0,由零點(diǎn)的存在性定理可知,在區(qū)間(k-1,k),(k,k+1)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),零點(diǎn)可能是區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值,故D正確.
10.(2013~2014山東梁山一中期中試題)若函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算列表如下
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f(x) -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程x3-x-1=0的一個(gè)近似根(精確度為0,1)為()
A.1.2 B.1.3125
C.1.4375 D.1.25
[答案] B
[解析] 由于f(1.375)>0,f(1.3125)<0,且
1.375-1.3125<0.1,故選B.
11.(2013~2014河北廣平縣高一期中試題)“龜兔賽跑”講過了這樣一個(gè)故事:領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當(dāng)它醒來時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到了終點(diǎn),用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路線,t為時(shí)間,則圖中與故事情節(jié)相吻合的是()
[答案] D
12.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖,則它的一個(gè)可能的解析式為()
A.y=2x B.y=4-4x+1
C.y=log3(x+1) D.y=x13 (x0)
[答案] B
[解析] 由于過(1,2)點(diǎn),排除C、D;由圖象與直線y=4無限接近,但到達(dá)不了,即y<4知排除A,選B.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,把正確答案填在題中橫線上)
13.如函數(shù)f(x)=x2+mx+m+3的一個(gè)零點(diǎn)為0,則另一個(gè)零點(diǎn)是________.
[答案] 3
[解析] 代入x=0得m=-3.
f(x)=x2-3x,則x2-3x=0得x1=0,x2=3
因此另一個(gè)零點(diǎn)為3.
14.用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間(2,4)上的實(shí)數(shù)根時(shí),取中點(diǎn)x1=3,則下一個(gè)有根區(qū)間是________.
[答案] (2,3)
[解析] 設(shè)f(x)=x3-3x-5,則f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有f(2)f(3)<0,則下一個(gè)有根區(qū)間是(2,3).
15.已知函數(shù)y=f(x)是R上的`奇函數(shù),其零點(diǎn)為x1,x2,…,x2013,則x1+x2+…+x2013=________.
[答案] 0
[解析] 由于奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此零點(diǎn)是對(duì)稱,所以x1+x2+…+x2013=0.
16.已知y=x(x-1)(x+1)的圖象如圖所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,則下列關(guān)于f(x)=0的解敘述正確的是________.
①有三個(gè)實(shí)根;
、趚>1時(shí)恰有一實(shí)根;
、郛(dāng)0<x<1時(shí)恰有一實(shí)根;
、墚(dāng)-1<x<0時(shí)恰有一實(shí)根;
⑤當(dāng)x<-1時(shí)恰有一實(shí)根(有且僅有一實(shí)根).
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的圖象是將函數(shù)y=x(x-1)(x+1)的圖象向上平移0.01個(gè)單位得到.故f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),它們分別在區(qū)間(-,-1),(0,12)和(12,1)內(nèi),故只有①⑤正確.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
[解析] 解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,
函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上必定存在零點(diǎn).
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+)上為增函數(shù),故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
解法二:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的圖象,如圖所示,由圖象知y=lg(x+1)和y=2-2x有且只有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).
18.(本小題滿分12分)北京市的一家報(bào)刊攤點(diǎn),從報(bào)社買進(jìn)《北京日?qǐng)?bào)》的價(jià)格是每份0.20元,賣出的價(jià)格是每份0.30元,賣不掉的報(bào)紙可以以每份0.05元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月(30天計(jì)算)里,有20天每天可賣出400份,其余10天每天只能賣出250份,但每天從報(bào)社買進(jìn)的份數(shù)必須相同,這個(gè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)多少份,才能使每月所獲的利潤最大?并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元?
[解析] 設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)x份報(bào)紙,每月獲得的總利潤為y元,則依題意有
y=0.10(20x+10250)-0.1510(x-250)
。0.5x+625,x[250,400].
該函數(shù)在[250,400]上單調(diào)遞增,所以x=400時(shí),ymax=825(元).
答:攤主每天從報(bào)社買進(jìn)400份時(shí),每月所獲得的利潤最大,最大利潤為825元.
19.(本小題滿分12分)某公司今年1月份推出新產(chǎn)品A,其成本價(jià)為492元/件,經(jīng)試銷調(diào)查,銷售量與銷售價(jià)的關(guān)系如下表:
銷售價(jià)x(元/件) 650 662 720 800
銷售量y(件) 350 333 281 200
由此可知,銷售量y(件)與銷售價(jià)x(元/件)可近似看作一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系(通常取表中相距較遠(yuǎn)的兩組數(shù)據(jù)所得的一次函數(shù)較為精確).
試問:銷售價(jià)定為多少時(shí),1月份利潤最大?并求最大利潤和此時(shí)的銷售量.
[解析] 由表可知350=650k+b,200=800k+bk=-1,b=1000,
故y=-x+1000.
設(shè)1月份利潤為W,則
W=(x-492)(-x+1000)=-x2+1492x-492000=-(x-746)2+64516,
當(dāng)x=746,Wmax=64516,此時(shí)銷售量為1000-746=254件,即當(dāng)銷售價(jià)定為746元/件時(shí),1月份利潤最大,最大利潤為64516元,此時(shí)銷售量為254件.
20.(本小題滿分12分)用二分法求f(x)=x3+x2-2x-2在x的正半軸上的一個(gè)零點(diǎn)(誤差不超過0.1).
[解析] 顯然f(2)=23+22-22-2=6>0.
當(dāng)x>2時(shí)f(x)>0,又f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,
故f(x)在(1,2)區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
區(qū)間 中點(diǎn)值 中點(diǎn)函數(shù)值
[1,2] 1.5 0.625
[1,1.5] 1.25 -0.984
[1.25,1.5] 1.375 -0.260
[1.375,1.5] 1.438 0.165
[1.375,1.438]
因?yàn)閨1.375-1.438|=0.063<0.1,故f(x)=x3+x2-2x-2的零點(diǎn)為x=1.4.
21.(本小題滿分12分)某城市有甲,乙兩家乒乓球俱樂部,兩家設(shè)備和服務(wù)都很好,但收費(fèi)方式不同.甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元;乙家按月計(jì)費(fèi),一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元,超過30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開展活動(dòng),其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí),但不超過40小時(shí).設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(1540),在乙家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(1540).
(1)求f(x)和g(x);
(2)問:小張選擇哪家比較合算?為什么?
[解析] (1)f(x)=5x(1540);
g(x)=90,1530,2x+30,30<x40.
(2)由f(x)=g(x),得1530,5x=90或30<x40,5x=2x+30,
即x=18或x=10(舍).
當(dāng)15x<18時(shí),f(x)-g(x)=5x-90<0,
即f(x)<g(x),應(yīng)選甲家;
當(dāng)x=18時(shí),f(x)=g(x),即可以選甲家也可以選乙家.
當(dāng)18<x30時(shí),f(x)-g(x)=5x-90>0,
即f(x)>g(x),應(yīng)選乙家.
當(dāng)30<x40時(shí),
f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,
即f(x)>g(x),應(yīng)選乙家.
綜上所述:當(dāng)15x<18時(shí),選甲家;
當(dāng)x=18時(shí),可以選甲家也可以選乙家;
當(dāng)18<x40時(shí),選乙家.
22.(本小題滿分12分)一片森林原來面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí),所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的14,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的22.
(1)求每年砍伐面積的百分比.
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多還能砍伐多少年?
[分析] (1)根據(jù)10年的砍伐面積為原來的一半,列方程求解.
(2)根據(jù)到今年為止,森林剩余面積為原來的22,列方程求解.
(3)求出第n年后森林剩余面積,根據(jù)森林面積至少要保留原面積的14列不等式求解.
[解析] (1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(01),則a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12.
解得x=1-(12)110 .
(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的22,則
a(1-x)m=22a,即(12)m10 =(12)12 ,
m10=12,解得m=5.
故到今年為止,已砍伐了5年.
(3)設(shè)從今年開始,以后砍伐了n年,
則n年后剩余面積為22a(1-x)n.
令22a(1-x)n14a,即(1-x)n24,
(12)n10 (12)32 ,n1032,解得n15.
故今后最多還能砍伐15年.
[點(diǎn)評(píng)] 通過本題,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)高次方程、指數(shù)不等式的解法.對(duì)于高次方程應(yīng)讓學(xué)生明確,主要是開方運(yùn)算;對(duì)于指數(shù)不等式,強(qiáng)調(diào)化為同底,應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解,本題中化為同底是一大難點(diǎn).
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