初中兩角和與差的三角函數(shù)試題
例1.已知,求cos。
分析:因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督,因而可得到下面的兩種解法。
解法一:由已知sin+sin=1…………①,
cos+cos=0…………②,
、2+②2得 2+2cos;
∴ cos。
、2-②2得 cos2+cos2+2cos()=-1,
即2cos()〔〕=-1。
∴。
解法二:由①得…………③
由②得…………④
、堋垄鄣
點(diǎn)評:此題是給出單角的三角函數(shù)方程,求復(fù)角的余弦值,易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos,但未知數(shù)有四個(gè),顯然前景并不樂觀,其錯(cuò)誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化,“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。
例2.已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
(理)(1)解析:y=cos2x+sinxcosx+1
=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+
=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
y取得最大值必須且只需2x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z。
所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}。
(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換:
、侔押瘮(shù)y=sinx的圖象向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
y=sin(2x+)的圖象;
、馨训玫降膱D象向上平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖象;
綜上得到函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1的圖象。
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的'技能以及運(yùn)算能力。
例3已知函數(shù)y=sinx+cosx,x∈R.
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;
(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?
解析:(1)y=sinx+cosx=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),x∈R
y取得最大值必須且只需x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+2kπ,k∈Z。
所以,當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=+2kπ,k∈Z}
(2)變換的步驟是:
、侔押瘮(shù)y=sinx的圖象向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)的圖象;
、诹钏玫降膱D象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)
y=2sin(x+)的圖象;
經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)y=sinx+cosx的圖象。
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。
三角形中的恒等式:
對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
類似地,我們同樣也可以求證:當(dāng)α+β+γ=nπ(n∈Z)時(shí),總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇-1,1]。
tan(x)的定義域?yàn)閤不等于π/2+kπ(k∈Z),值域?yàn)镽。
cot(x)的定義域?yàn)閤不等于kπ(k∈Z),值域?yàn)镽。
y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域?yàn)?[ c-√(a2+b2) , c+√(a2+b2)]
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