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全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題1及答案

時間:2022-09-24 09:23:43 試題 我要投稿
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全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題1及答案

  全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題1及答案

  第一試

  一、 選擇題:(每小題6分,共36分)

  1、方程6×(5a2+b2)=5c2滿足c≤20的正整數(shù)解(a,b,c)的個數(shù)是

 。ˋ)1 (B)3 (C)4 (D)5

  x22、函數(shù)y (x∈R,x≠1)的遞增區(qū)間是

  x 1

 。ˋ)x≥2 (C)x≤0

  (B)x≤0或x≥2 (D)x≤1 2或x≥2

  3、過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B,使△AOB(O

  為原點)的面積最小,則l的方程為 (A)x+y-3=0 (B)x+3y-5=0 (C)2x+y-5=0 (D)x+2y-4=0

  4、若方程cos2x+3sin2x=a+1在 0, 上有兩個不同的實數(shù)解x,則參

  2

  數(shù)a的取值范圍是 (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 5、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是

 。ˋ)42 (B)45 (C)48 (D)51

  6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,滿足條件a1<a2,a2>a3,a3<a4,a4

 。綼5的排列的個數(shù)是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

  二、 填空題:(每小題9分,共54分)

  1、[x]表示不大于x的最大整數(shù),則方程

  1

  ×[x2+x]=19x+99的實數(shù)解x2

  是 .

  2、設(shè)a1=1,an+1=2an+n2,則通項公式an= . 3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是 .

  5

  4、在△ABC中,∠A=,sinB=,則cosC= .

  313

  5、設(shè)k、 是實數(shù),使得關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+k2-1=0的兩個根為

  sin 和cos ,則 的取值范圍是. 6、數(shù)5 24

  2n

 。╪∈N)的個位數(shù)字是

  三、 (20分)

  已知x、y、z都是非負實數(shù),且x+y+z=1.

  求證:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0,并確定等號成立的條件.

  四、 (20分)

 。1) 求出所有的實數(shù)a,使得關(guān)于x的方程x2+(a+2002)x+a=0的兩根

  皆為整數(shù).

 。2) 試求出所有的實數(shù)a,使得關(guān)于x的方程x3+(-a2+2a+2)x-2a2-

  2a=0有三個整數(shù)根.

  五、 (20分)

  試求正數(shù)r的最大值,使得點集T={(x,y)|x、y∈R,且x2+(y-7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S={(x,y)|x、y∈R,且對任何 ∈R,都有cos2 +xcos +y≥0}之中.

  第二試

  一、(50分)

  設(shè)a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z是復(fù)數(shù),且z2-(a-c)z-b=0.

  a2 b a c z

  求證: 1的充分必要條件是(a-c)2+4b≤0.

  ac b

  二、(50分)

  如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB均是銳角,

  D是BC邊上的內(nèi)點,且AD平分∠BAC,過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ,其垂足是P、Q,兩條直線CP與BQ相交與點K.求證: (1) AK⊥BC;

 。2) AK AP AQ

  2S△ABC

  ,其中S△ABC表BC

  示△ABC的面積.

  三、(50分)

  給定一個正整數(shù)n,設(shè)n個實數(shù)a1,a2,…,an滿足下列n個方程:

  ai4

  (j 1,2,3, ,n). i j2j 1i 1

  n

  確定和式S

  i 1

  n

  ai

  的值(寫成關(guān)于n的最簡式子). 2i 1

  參考答案

  第一試

  二、填空題:

  1811587

  1、 或;

  3838

  3、343;

  2、7×2n-1-n2-2n-3; 4、

  53 12

 。 26

  5、{ | =2n + 或2n -

  ,n∈Z} ;6、1(n為偶數(shù));7(n為奇數(shù)). 2

  1 1 1

  x z y z 1 x y

  三、證略,等號成立的條件是x y z 或 2或 2或 2.

  3 z 0 y 0 z 0四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040;

  (2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

  五、rmax=42.

  第二試

  a c a c 4b i

  一、證略(提示:直接解出z ,通過變形即得充分性成

  2

  2

  立,然后利用反證法證明必要性).

  二、證略(提示:用同一法,作出BC邊上的高AR,利用塞瓦定理證明AR、BQ、

  CP三線共點,從而AK⊥BC;記AR與PQ交于點T,則AQ=AP,對于AK<AP,可證∠APK<∠AKP).

  三、S

  1

  2S△ABC

 。紸R>AT>BC

  2n 12

  1.

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