關(guān)于矩形練習題

　　由于矩形是特殊的平行四邊形，故包含平行四邊形的性質(zhì)；矩形又可分為長方形和正方形，故包含長方形和正方形的一些共有的性質(zhì)。

　　矩形練習題

　　一、教學目標：

　　1．掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．

　　2．會初步運用矩形的概念和性質(zhì)來解決有關(guān)問題．

　　3．滲透運動聯(lián)系、從量變到質(zhì)變的觀點．

　　二、重點、難點

　　1．重點：矩形的性質(zhì)．

　　2．難點：矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．

　　三、例題的意圖分析

　　例1是教材P104的例1，它是矩形性質(zhì)的直接運用，它除了用以鞏固所學的矩形性質(zhì)外，對計算題的格式也起了一個示范作用．例2與例3都是補充的題目，其中通過例2的講解是想讓學生了解：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法；（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式．并能通過例2、例3的講解使學生掌握解決有關(guān)矩形方面的一些計算題目與證明題的方法．

　　四、課堂引入

　　1．展示生活中一些平行四邊形的實際應(yīng)用圖片（推拉門，活動衣架，籬笆、井架等），想一想：這里面應(yīng)用了平行四邊形的什么性質(zhì)？

　　2．思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點，觀察不管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？（動畫演示拉動過程如圖）

　　3．再次演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，讓學生觀察這是什么圖形？（小學學過的長方形）引出本課題及矩形定義．

　　矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)．

　　矩形是我們最常見的圖形之一，例如書桌面、教科書的封面等都有矩形形象．

　　【探究】在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上（作出對角線），拉動一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀．

　�、� 隨著∠α的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？

　�、� 當∠α是直角時，平行四邊形變成矩形，此時它的其他內(nèi)角是什么樣的角？它的兩條對角線的長度有什么關(guān)系？

　　操作，思考、交流、歸納后得到矩形的性質(zhì)．

　　矩形性質(zhì)1  矩形的四個角都是直角．

　　矩形性質(zhì)2  矩形的對角線相等．

　　如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

　　五、例習題分析

　　例1 （教材P104例1）已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°，AB=4c，求矩形對角線的長．

　　分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個特性和已知，可得△OAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求．

　　解：∵ 四邊形ABCD是矩形，

　　∴ AC與BD相等且互相平分．

　　∴ OA=OB．

　　又 ∠AOB=60°，

　　∴ △OAB是等邊三角形．

　　∴ 矩形的對角線長AC=BD = 2OA=2×4=8（c）．

　　例2（補充）已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 c ，對角線比AD邊長4 c．求AD的長及點A到BD的距離AE的長．

　　分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的.計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．

　　略解：設(shè)AD=xc，則對角線長（x+4）c，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 則 AD=6c．

　�。�2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8c．

　　例3（補充） 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求證：CE＝EF．

　　分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AF＝BE，則問題解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形．

　　證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，

　　∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．

　　∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．

　　∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，

　　∴ △ABE≌△DFA（AAS）．

　　∴ AF=BE．

　　∴ EF=EC．

　　此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

　　六、隨堂練習

　　1．（填空）

　�。�1）矩形的定義中有兩個條件：一是 ，二是 ．

　　（2）已知矩形的一條對角線與一邊的夾角為30°，則矩形兩條對角線相交所得的四個角的度數(shù)分別為 、 、 、 ．

　�。�3）已知矩形的一條對角線長為10c，兩條對角線的一個交角為120°，則矩形的邊長分別為 c， c， c， c．

　　2．（選擇）

　�。�1）下列說法錯誤的是（ ）．

　　（A）矩形的對角線互相平分 （B）矩形的對角線相等

　�。–）有一個角是直角的四邊形是矩形 （D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

　　（2）矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．

　�。ˋ）2對 （B）4對 （C）6對 （D）8對

　　3．已知：如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度數(shù)．

　　七、課后練習

　　1．（選擇）矩形的兩條對角線的夾角為60°，對角線長為15c，較短邊的長為（ ）．

　　(A)12c (B)10c (C)7.5c (D)5c

　　2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度數(shù)．

　　3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中點，求證：EA⊥ED．

　　4．如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求證：∠CBE的度數(shù)．

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