探索題例談

探索型題是義務(wù)教育階段數(shù)學新教材新增加的一種題型，從一年級到九年級由易到難始終有這樣的題型。探索型題涉及數(shù)學知識較廣，做這類題的關(guān)鍵應(yīng)從觀察已知式的變化特點入手，找出規(guī)律，并正確地用數(shù)學術(shù)語或式子表示出來。

例1．7．023023……是一個循環(huán)小數(shù)，請?zhí)剿餍��?shù)點后第10位﹑100位﹑998位﹑999位等第n位上的數(shù)字是多少？

分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)，7．023023…這個數(shù)的循環(huán)節(jié)是“023”，三位數(shù)。小數(shù)點后第10位的數(shù)字應(yīng)該這樣探索：

                10÷3=3……1     

             　     3次

 7.  

            ↓

            第9位

 第10位上的數(shù)字是0；

同理，100÷3=33……1

   　  33次

  7.          

             ↓

              第99位

第100位上的數(shù)字是0； 

    998÷3=332…2

    7. 2

                ↓第996位  

第998位上的數(shù)字是2；

999÷3=333

      333次

7.  

第999位上的數(shù)字是3；

n÷3=a……b（b=0﹑1﹑2）

當b=0是，第n位的數(shù)字3,

當b=1是，第n位的數(shù)字0,

當b=2是，第n位的數(shù)字2。

例2．不計算，運用規(guī)律直接寫得數(shù)。

      6×7=42

      6.6×6.7=44.22

6.66×66.7=_________

6.666×666.7=________

   分析:通過觀察發(fā)現(xiàn),兩個因數(shù)的整數(shù)部分共有幾位數(shù),積的整數(shù)部分就有幾個4；兩個因數(shù)的小數(shù)部分共有幾位數(shù)，積的小數(shù)部分就有幾個2。

  　　﹙n-1﹚個、﹙n-1﹚個、n個、n個

 即、6.  × .7= .  

例3．研究探索下列算式，你會得到什么規(guī)律？

     1×3+1=4=2 

     2×4+1=9=3 

     3×5+1=16=4 

         ．．．．．．

請將你找到的規(guī)律用式子表示出來：

n(n+2)+1=(n+1) (n是大于1或等于1的自然數(shù))

分析：等號左邊是兩數(shù)之積再與1的和，兩數(shù)之積的第一個因數(shù)分別是1、2、3…是n從1開始的自然數(shù),第二個因數(shù)分別是3、4、5…當n＝１時，3表示1+2，當n＝2時，4表示2+2，當n＝3時，5表示3+2…當n＝n時,這個數(shù)表示為n+2,等號右邊是某個數(shù)的平方,這些數(shù)分別是2 、3 、4 、5 …，當n＝１時，2 表示為(1+1)  ；當n＝2時，3 表示為(2+1) ；當n＝3時，4 表示為

(3+1) …當n＝n時,這個數(shù)表示為(n+1) 。

因此，這個規(guī)律可表示為n(n+2)+1=(n+1) （n為大于或等于1的自然數(shù)）。

     例4．經(jīng)過計算：   ， =  ，   ， 

   ，觀察上述結(jié)果的規(guī)律，并把此結(jié)果的特點寫成一般表達式：

   。

于是，  + + +… 的計算結(jié)果為1- (是大于或等于1的自然數(shù))。

分析：從已知觀察， 可表示為  則，

 + + +… =  +  +  +…+ - + - 。除第一項和最后一項外，其他的和為0，最后的結(jié)果為1- (是大于或等于1的自然數(shù))。

做探索型題的關(guān)鍵是觀察--歸納--猜想，探索型題是數(shù)學推理的應(yīng)用。數(shù)學推理包括分析、綜合、抽象概括等演繹推理方式，而做探索型題要有分析能力、歸納能力、猜想能力。這是對數(shù)學探索研究的一般思維方法。

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