概率論重要知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。隨機(jī)現(xiàn)象是相對(duì)于決定性現(xiàn)象而言的。在一定條件下必然發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象。下面為幫助同學(xué)們更好地理解概率論,小編匯總了關(guān)于概率論的重要知識(shí)點(diǎn)總結(jié),希望對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)上有所幫助。
第一章 隨機(jī)事件及其概率
第一節(jié) 基本概念
隨機(jī)實(shí)驗(yàn):將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn):
(1)可重復(fù)性
。2)多結(jié)果性
(3)不確定性的試驗(yàn)或 觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),常用 表示。
隨機(jī)事件:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情(結(jié)果)稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事 不可能事件:在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情,記為。必然事件:在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情,記為Ω。
樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),記作ω. 樣本空間:所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間. 樣本空間用Ω 表示. 一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集;臼录獑吸c(diǎn)集,復(fù)合事件—多點(diǎn)集 一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。 事件的關(guān)系與運(yùn)算(就是集合的關(guān)系和運(yùn)算) 包含關(guān)系:若事件 發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱B 包含A,記為 ,則稱事件A與事件B 相等,記為A=B。
事件的和:“事件A 與事件B 至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件,稱此事件為事件A 與事件B 事件的積:稱事件“事件A與事件B 都發(fā)生”為A 或AB。事件的差:稱事件“事件A 發(fā)生而事件B 不發(fā)生”為事件A 與事件B 的差事件,記為 A-B。 用交并補(bǔ)可以表示為 互斥事件:如果A,B兩事件不能同時(shí)發(fā)生,即AB=Φ,則稱事件A 與事件B 是互不相容 事件或互斥事件;コ鈺r(shí) 可記為A+B。對(duì)立事件:稱事件“A不發(fā)生”為事件A 的對(duì)立事件(逆事件),記為A 。對(duì)立事件的性質(zhì): 事件運(yùn)算律:設(shè)A,B,C為事件,則有:
。1)交換律:AB=BA,AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC
。3)分配律:A(BC)=(AB)(AC) ABAC
(4)對(duì)偶律(摩根律):
第二節(jié)事件的概率
概率的公理化體系: 第三節(jié)古典概率模型 1、設(shè)試驗(yàn)E 是古典概型, 其樣本空間Ω 個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A 的概率為 的某個(gè)區(qū)域,它的面積為μ(A),則向區(qū)域 上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域 假如樣本空間Ω可用一線段,或空間中某個(gè)區(qū)域表示,則事件A 的概率仍可用上式確定, 只不過把μ 理解為長(zhǎng)度或體積即可. 第四節(jié) 條件概率 條件概率:在事件B 發(fā)生的條件下,事件A 發(fā)生的概率稱為條件概率,記作 乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式:設(shè) 第五節(jié)事件的獨(dú)立性 兩個(gè)事件的`相互獨(dú)立:若兩事件A、B 滿足P(AB)= 相互獨(dú)立.三個(gè)事件的相互獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,若P(AB)= 相互獨(dú)立三個(gè)事件的兩兩獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,若P(AB)= 兩兩獨(dú)立獨(dú)立的性質(zhì):若A 均相互獨(dú)立總結(jié):
1.條件概率是概率論中的重要概念,其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系,在不具有獨(dú)立性的場(chǎng) 合,它將扮演主要的角色。
2.乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用, 應(yīng)牢固掌握。
3.獨(dú)立性是概率論中的最重要概念之一,應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算。
第二章 一維隨機(jī)變量及其分布
第二節(jié) 分布函數(shù)
分布函數(shù):設(shè)X 是一個(gè)隨機(jī)變量,x 為一個(gè)任意實(shí)數(shù),稱函數(shù) 內(nèi)的概率分布函數(shù)的性質(zhì):
。1)單調(diào)不減;
。2)右連續(xù);
。3) 第三節(jié)離散型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量的分布律:設(shè) (k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量 為離散型隨機(jī)變量X的分布律,也稱概率分布. 當(dāng)離散性隨機(jī)變量取值有限且概率的規(guī)律不明顯時(shí),常用表格形式表示分布律。
分布律的性質(zhì):
。1) 離散型隨機(jī)變量的概率計(jì)算:
。1)已知隨機(jī)變量X 的分布律,求X 的分布函數(shù);
。2)已知隨機(jī)變量X的分布律, 求任意隨機(jī)事件的概率;
。3)已知隨機(jī)變量X 的分布函數(shù),求X 的分布律 三種常用離散型隨機(jī)變量的分布:
1.(0-1)分布:參數(shù)為p 的分布律為
2.二項(xiàng)分布:參數(shù)為n,p的分布律為 重獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為p,記X 次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),
3.泊松分布:參數(shù)為λ的分布率為 第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度f(x)的性質(zhì) 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算:
(1)已知隨機(jī)變量X 的密度函數(shù),求X 的分布函數(shù);
。2)已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求X 的密度函數(shù);
。3)已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù), 求隨機(jī)事件的概率;
。4)已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求隨機(jī)事件的概率; 三種重要的連續(xù)型分布:
1.均勻分布:密度函數(shù) N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,然后再計(jì)算概率. 第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 離散型:在分布律的表格中直接求出; 連續(xù)型:尋找分布函數(shù)間的關(guān)系,再求導(dǎo)得到密度函數(shù)間的關(guān)系;注意分段函數(shù)情況可能需 要討論,得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù)。 第三章多維隨機(jī)變量及其分布 第一節(jié) 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù) ,表示隨機(jī)點(diǎn)落在以(x,y)為頂點(diǎn)的左下無窮 矩形區(qū)域內(nèi)的概率。
2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):
(1)分別關(guān)于x 單調(diào)不減;
(2)分別關(guān)于x 第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量 聯(lián)合分布律: ij 第三節(jié)二維連續(xù)性隨機(jī)變量 聯(lián)合密度: 第四節(jié)邊緣分布 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律:在表格邊緣,對(duì)應(yīng)概率相加求出; 二維連續(xù)性隨機(jī)變量的邊緣密度:先求出邊緣分布函數(shù),在求導(dǎo)求出邊緣密度 第六節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 獨(dú)立性判斷: 取值互不影響,可認(rèn)為相互獨(dú)立;
。3)根據(jù)獨(dú)立性定義判斷 獨(dú)立性的應(yīng)用:
(4)判斷獨(dú)立性;
(5)已知獨(dú)立性,由邊緣分布確定聯(lián)合分布第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算 xfEX 常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差兩點(diǎn)分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布。
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